Trace et transposée de matrice/Propriétés

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Rappelons quelques propriétés de la trace d’une matrice, démontrées dans la leçon sur les matrices figurant dans les prérequis.

Propriété 1

La fonction trace est une forme linéaire sur M_n(K) :

$\forall A,B\in \operatorname {M} _{n}(K)\quad \forall \alpha ,\beta \in K\quad \operatorname {Tr} (\alpha A+\beta B)=\alpha \operatorname {Tr} (A)+\beta \operatorname {Tr} (B)$.

Propriété 2

Une matrice carrée et sa transposée ont même trace :

$\operatorname {Tr} (^{\operatorname {t} }\!A)=\operatorname {Tr} (A)$.

Propriété 3

La trace d'un produit de deux matrices ne dépend pas de l'ordre :

$\forall A\in \operatorname {M} _{m,n}(K)\quad \forall B\in \operatorname {M} _{n,m}(K)\quad \operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)$.

En particulier, $\forall A,B\in \operatorname {M} _{n}(K)\quad \operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)$, d'où :

Propriété 4

Deux matrices carrées semblables ont même trace :

$\forall A\in \operatorname {M} _{n}(K)\quad \forall P\in \operatorname {GL} _{n}(K)\quad \operatorname {Tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {Tr} (A)$.