Espace vectoriel/Exercices/Espaces et sous-espaces vectoriels

• $\mathbb {K}$ désigne $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$
• E est un $\mathbb {K}$-espace vectoriel.

Être ou ne pas être un espace vectoriel ?

1. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\mathbb {R} ^{2}$ ?

a. $E_{1a}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},x\leq y\}$

b. $E_{1b}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},xy=0\}$

c. $E_{1c}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},x=y\}$

d. $E_{1d}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},x+y=1\}$

2. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ ?

a. E_2a = Ensemble des suites bornées

b. E_2b = Ensemble des suites monotones

c. E_2c = Ensemble des suites convergentes

d. E_2d = Ensemble des suites arithmétiques

3. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de ${\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ ?

a. $E_{3a}=\{f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),f{\textrm {~monotone}}\}$

b. $E_{3b}=\{f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),f{\textrm {~s'annule~en~}}0\}$

c. $E_{3c}=\{f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),f{\textrm {~s'annule}}\}$

d. $E_{3d}=\{f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),f{\textrm {~est~impaire}}\}$

Solution

Série 1

a. $v_{1}{\begin{array}{|l}1\\2\end{array}}\in E_{1a}$ et $-v_{1}{\begin{array}{|l}-1\\-2\end{array}}\not \in E_{1a}$

Donc E_1a n’est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{2}$.

b. $v_{1}{\begin{array}{|l}1\\0\end{array}}\in E_{1b}$ et $v_{2}{\begin{array}{|l}0\\1\end{array}}\in E_{1b}$ $(v_{1}+v_{2}){\begin{array}{|l}1\\1\end{array}}\not \in E_{1b}$

Donc E_1b n’est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{2}$.

c. Soit $(\lambda ,v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} \times E_{1c}^{2}$ $\exists x_{1}\in \mathbb {R} ^{2},~v_{1}{\begin{array}{|l}x_{1}\\x_{1}\end{array}}$ $\exists x_{2}\in \mathbb {R} ^{2},~v_{2}{\begin{array}{|l}x_{2}\\x_{2}\end{array}}$ $(\lambda v_{1}+v_{2}){\begin{array}{|l}\lambda x_{1}+x_{2}\\\lambda x_{1}+x_{2}\end{array}}$

Donc $\forall (\lambda ,v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} \times E_{1c}^{2},~\lambda v_{1}+v_{2}\in E_{1c}$

Donc E_1c est un sous-espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{2}$.

d. $v_{1}{\begin{array}{|l}1\\0\end{array}}\in E_{1d}$ et $v_{2}{\begin{array}{|l}0\\1\end{array}}\in E_{1d}$ $(v_{1}+v_{2}){\begin{array}{|l}1\\1\end{array}}\not \in E_{1d}$

Donc E_1d n’est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{2}$.

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Série 2

a. Oui b. Non c. Oui d. Oui

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Série 3

a. Non b. Oui c. Non d. Oui

 

Exercice 1

Soient les sous-ensembles de $\mathbb {R} ^{3}$ suivants :

• $F=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},x+y-z=0\}$
• $G=\{(a-b,a+b,a-3b),(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\}$

1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de $\mathbb {R} ^{3}$.

2. Déterminer $F\cap G$.

Solution

Question 1

• Soient $\lambda \in \mathbb {R} ,u_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})\in F,u_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})\in F$. Alors $\lambda u_{1}+u_{2}=(\lambda x_{1}+x_{2},\lambda y_{1}+y_{2},\lambda z_{1}+z_{2})$ et $(\lambda x_{1}+x_{2})+(\lambda y_{1}+y_{2})-(\lambda z_{1}+z_{2})=\lambda (x_{1}+y_{1}-z_{1})+(x_{2}+y_{2}-z_{2})=0$

F est bien un sous espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{3}$.

• $G=\operatorname {Vect} \left\{(1,1,1),(-1,1,-3)\right\}$.

G est bien un sous espace vectoriel de $\mathbb {R} ^{3}$.

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Question 2

${\begin{aligned}u\in F\cap G&\Leftrightarrow \exists (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\quad {\begin{cases}u=(a-b,a+b,a-3b)\\(a-b)+(a+b)-(a-3b)=0\end{cases}}\\&\Leftrightarrow \exists (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}\quad {\begin{cases}u=(a-b,a+b,a-3b)\\a=-3b\end{cases}}\\&\Leftrightarrow \exists b\in \mathbb {R} \quad u=(-3b-b,-3b+b,-3b-3b)\\&\Leftrightarrow \exists b\in \mathbb {R} \quad u=b(-4,-2,-6).\end{aligned}}$

Ainsi, $F\cap G=\operatorname {Vect} \{(-4,-2,-6)\}=\operatorname {Vect} \{(2,1,3)\}$.

$F\cap G={\rm {{Vect}\{(2,1,3)\}}}$

 

Exercice 2

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que $F\cap G=F+G\Leftrightarrow F=G$

Solution

$F+G=F\cap G\Longleftrightarrow F+G\subset F\cap G\Longleftrightarrow F\cup G\subset F\cap G\Longleftrightarrow F=G$, où :

• la première équivalence se déduit du fait que l'inclusion $F\cap G\subset F+G$ est toujours vraie (par exemple parce que $F\cap G\subset F=F+0\subset F+G$) ;
• la deuxième, de l'égalité $F+G=\operatorname {Vect} (F\cup G)$ (et du fait que $F\cap G$ est un sous-espace vectoriel) ;
• la dernière est une propriété purement ensembliste.

 

Exercice 3

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ (si et) seulement si $F\subset G$ ou $G\subset F$.

Solution

$\Leftarrow$ est immédiat. Pour prouver $\Rightarrow$, démontrons la contraposée, c'est-à-dire : supposons que $F\not \subset G$ et $G\not \subset F$ et montrons qu'alors, $F\cup G$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$.

Par hypothèse, il existe un vecteur $x\in F\setminus G$ et un vecteur $y\in G\setminus F$.

Ces deux vecteurs appartiennent à $F\cup G$ mais leur somme $z$ n'appartient ni à $F$ (sinon, puisque $x\in F$ et que $F$ est stable par différences, on aurait $y=z-x\in F$, ce qui est contraire au choix de $y$), ni à $G$ (de même en intervertissant les couples $(x,F)$ et $(y,G)$). Donc $F\cup G$ n'est pas stable par $+$.

 

Exercice 4

Soient les espaces :

• $F=\left\{f\in {\mathcal {C}}([-1;1],\mathbb {C} ),~\int _{-1}^{1}f(t)~\mathrm {d} t=0\right\}$
• $G=\left\{f\in {\mathcal {C}}([-1;1],\mathbb {C} ),~f{\textrm {~constante}}\right\}$

Montrer que F et G sont deux sous-espaces supplémentaires de ${\mathcal {C}}([-1;1],\mathbb {C} )$.

Solution

Pour montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires de ${\mathcal {C}}([-1;1],\mathbb {C} )$, ce que l’on écrit ${\mathcal {C}}([-1;1],\mathbb {C} )=F\oplus G$, il faut voir que

(i) $F\cap G=\{0\}$,

(ii) Toute fonction $f\in {\mathcal {C}}([-1;1],\mathbb {C} )$ s’écrit $f=\alpha +\beta$ avec $\alpha \in F$ et $\beta \in G$.
(i) : Soit $f\in F\cap G$ ; puisque $f\in G$ alors $f$ est constante : $f(t)=c$ pour tout $t\in [-1;1]$. De plus, puisque $f$ est également dans $F$ alors $0=\int _{-1}^{1}f(t)~\mathrm {d} t=\int _{-1}^{1}c~\mathrm {d} t=c\int _{-1}^{1}1~\mathrm {d} t=2c$ et donc $f(t)=c=0$.
(ii) : On pose $\alpha =f-{\frac {1}{2}}~\int _{-1}^{1}f(t)~\mathrm {d} t$ et $\beta ={\frac {1}{2}}~\int _{-1}^{1}f(t)~\mathrm {d} t$. Alors naturellement $\beta$ est une constante, donc $\beta \in G$ ; utilisant la linéarité de l'intégrale, on observe que $\alpha \in F$. Finalement on a trivialement $f=\alpha +\beta$