Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Laguerre

On travaille dans $E=\mathbb {R} [X]$ muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle =\int _{0}^{+\infty }f(x)g(x)\operatorname {e} ^{-x}\,\mathrm {d} x$.

On définit, pour tout $n\in \mathbb {N}$, le n-ième polynôme de Laguerre $L_{n}$ par :

$\forall x\in \mathbb {R} \quad L_{n}(x)={\frac {\operatorname {e} ^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(\operatorname {e} ^{-x}x^{n})$.

1. Vérifier que $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ est bien un produit scalaire sur E.
2. Calculer L₀, L₁, L₂ et L₃.
3. Montrer que $(L_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une famille orthonormale de $\mathbb {R} [X]$
4. Montrer que pour tout $n\in \mathbb {N}$, L_n vérifie l'équation différentielle $(E_{1})~:~xL_{n}''(x)+(1-x)L_{n}'(x)+nL_{n}(x)=0$.
5. Montrer que L vérifie l'équation $(E_{2})~:~\forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in \mathbb {R} \quad (n+1)L_{n+1}(x)+(x-2n-1)L_{n}(x)+nL_{n-1}(x)=0$.

Solution des questions 1 et 2

1. • Pour tout $P,Q\in \mathbb {R} [X]\quad x\mapsto P(x)Q(x)\operatorname {e} ^{-x}$ est intégrable sur $\mathbb {R} ^{+}$, donc $\langle P,Q\rangle$ est bien défini.
   • La linéarité de l'intégrale donne la bilinéarité de $\langle \cdot ,\cdot \rangle$.
   • La symétrie et la positivité sont triviales.
   • Soit $P\in E$ tel que $\langle P,P\rangle =0$. La fonction $x\mapsto P^{2}(x)\operatorname {e} ^{-x}$ est continue, positive et d'intégrale sur $\mathbb {R} ^{+}$ nulle, donc elle est identiquement nulle, c'est-à-dire P = 0.

   On a montré que $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ était bilinéaire, symétrique, définie positive. Donc $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ est un produit scalaire sur E.

2. • $L_{0}(x)=1$
   • $L_{1}(x)=-x+1$
   • $L_{2}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-2x+1$
   • $L_{3}(x)=-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {3}{2}}x^{2}-3x+1$

 

Absence de solution des questions 3 à 5

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}