Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 2

Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, donner une primitive $F$ de $f$, en précisant les domaines de définition de $f$ et $F$.

Exercice 5-1

$f=(\sin +\cos )^{5}$

Solution

$f(x)=\left({\sqrt {2}}\cos(x-\pi /4)\right)^{5}$ donc $f=2^{5/2}(1-u^{2})^{2}u'=2^{5/2}(1-2u^{2}+u^{4})u'$ avec $u(x)=\sin(x-\pi /4)$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est

$F=2^{5/2}(u-2u^{3}/3+u^{5}/5)$.

 

Exercice 5-2

$f=2\cos ^{2}-\sin ^{2}$

Solution

$f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {3\cos(2x)}{2}}$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto {\frac {x}{2}}+{\frac {3\sin(2x)}{4}}$.

 

Exercice 5-3

$f(x)=5\cos 3x-3\sin 3x$

Solution

Une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto {\frac {5\sin 3x}{3}}+\cos 3x$.

 

Exercice 5-4

$f=\sin ^{5}-\cos ^{4}$

Solution

Sur $\mathbb {R}$ :

• une primitive de $\sin ^{5}=-(1-\cos ^{2})^{2}\cos '=(-1+2\cos ^{2}-\cos ^{4})\cos '$ est $u:x\mapsto -\cos +2{\frac {\cos ^{3}}{3}}-{\frac {\cos ^{5}}{5}}$ ;
• une primitive de $x\mapsto \cos ^{4}x={\frac {\cos 4x}{8}}+{\frac {\cos 2x}{4}}+{\frac {3}{8}}$ est $v:x\mapsto {\frac {\sin 4x}{32}}+{\frac {\sin 2x}{8}}+{\frac {3x}{8}}$ ;
• une primitive de $f$ est donc $F=u-v$.

 

Exercice 5-5

$f(x)=\cos ^{3}\sin ^{6}$

Solution

Une primitive sur $\mathbb {R}$ de $f=(1-\sin ^{2})\sin ^{6}\sin '$ est $F={\frac {\sin ^{7}}{7}}-{\frac {\sin ^{9}}{9}}$.

 

Exercice 5-6

$f(x)=\cos ^{2}4x\sin ^{3}4x+\tan ^{2}2x$

Solution

La fonction $x\mapsto \cos ^{2}4x\sin ^{3}4x$ est égale à $-{\frac {1}{4}}u^{2}(1-u^{2})u'$ avec $u(x)=\cos 4x$ donc a pour primitive (sur $\mathbb {R}$) ${\frac {-u^{3}}{12}}+{\frac {u^{5}}{20}}$.

Sur chaque intervalle $I_{k}:=\left]k{\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{4}},k{\frac {\pi }{2}}+{\frac {3\pi }{4}}\right[$ (avec $k\in \mathbb {Z}$), une primitive de $x\mapsto \tan ^{2}2x=(1+\tan ^{2}2x)-1$ est $x\mapsto {\frac {\tan 2x}{2}}-x$.

Sur chaque intervalle $I_{k}$, une primitive de $f$ est donc

$F:x\mapsto {\frac {-\cos ^{3}4x}{12}}+{\frac {\cos ^{5}4x}{20}}+{\frac {\tan 2x}{2}}-x$.

 

Exercice 5-7

$f=\cos ^{2}-{\frac {1}{\cos ^{2}}}$

Solution

Sur chaque intervalle $\left]k\pi -{\frac {\pi }{2}},k\pi +{\frac {\pi }{2}}\right[$ (avec $k\in \mathbb {Z}$), une primitive de $f:x\mapsto {\frac {1+\cos 2x}{2}}-\tan 'x$ est

$F:x\mapsto {\frac {x}{2}}+{\frac {\sin 2x}{4}}-\tan x$.

 

Exercice 5-8

$f(x)={\frac {\cos x}{(5+4\sin x)^{3}}}$

Solution

$f={\frac {u'}{4u^{3}}}$ avec $u=5+4\sin >0$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F={\frac {-1}{8u^{2}}}$.

 

Exercice 5-9

$f={\frac {\sin }{\cos ^{3}}}$

Solution

Sur chaque intervalle $\left]k\pi -{\frac {\pi }{2}},k\pi +{\frac {\pi }{2}}\right[$ (avec $k\in \mathbb {Z}$), une primitive de $f={\frac {-\cos '}{\cos ^{3}}}$ est $F={\frac {1}{2\cos ^{2}}}$.

 

Exercice 5-10

$f(x)={\frac {2x+\cos x}{\sqrt {x^{2}+\sin x}}}$

Solution

La fonction $u(x):=x^{2}+\sin x$ est $>0$ sur deux intervalles : $\left]-\infty ,a\right[$ et $\left]0,+\infty \right[$ (avec $a\approx -0{,}88$). Sur chacun de ces deux intervalles, une primitive de $f={\frac {u'}{\sqrt {u}}}$ est $F=2{\sqrt {u}}$.