Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 2

**Primitives 2**
Leçon : Intégration en mathématiques

Exercices n^o5
Chapitre du cours :	Primitives
Exercices de niveau 13.
Exo préc. :	Primitives 1
Exo suiv. :	Primitives 3

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Primitives 2
Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 2 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, donner une primitive $F$ de $f$ , en précisant les domaines de définition de $f$ et $F$ .

Exercice 5-1

$f=(\sin +\cos )^{5}$

Solution

$f(x)=\left({\sqrt {2}}\cos(x-\pi /4)\right)^{5}$ donc $f=2^{5/2}(1-u^{2})^{2}u'=2^{5/2}(1-2u^{2}+u^{4})u'$ avec $u(x)=\sin(x-\pi /4)$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est

$F=2^{5/2}(u-2u^{3}/3+u^{5}/5)$ .

Exercice 5-2

$f=2\cos ^{2}-\sin ^{2}$ et $g=\cos ^{4}\sin ^{2}$ .

Solution

$f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {3\cos(2x)}{2}}$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto {\frac {x}{2}}+{\frac {3\sin(2x)}{4}}$ .

$g(x)={\frac {(1+\cos(2x))^{2}(1-\cos(2x))}{8}}={\frac {1+\cos(2x)-\cos ^{2}(2x)-\cos ^{3}(2x)}{8}}={\frac {1+\cos(2x)}{8}}-{\frac {1+\cos(4x)}{16}}-{\frac {(1-\sin ^{2}(2x))\cos(2x)}{8}}$ donc une primitive de $g$ sur $\mathbb {R}$ est $G:x\mapsto {\frac {x}{8}}+{\frac {\sin(2x)}{16}}-{\frac {x}{16}}-{\frac {\sin(4x)}{64}}-{\frac {1}{16}}\left(\sin(2x)-{\frac {\sin ^{3}(2x)}{3}}\right)={\frac {x}{16}}-{\frac {\sin(4x)}{64}}+{\frac {\sin ^{3}(2x)}{48}}$ .

Exercice 5-3

$f(x)=5\cos 3x-3\sin 3x$

Solution

Une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F:x\mapsto {\frac {5\sin 3x}{3}}+\cos 3x$ .

Exercice 5-4

$f=\sin ^{5}-\cos ^{4}$

Solution

Sur $\mathbb {R}$ :

une primitive de $\sin ^{5}=-(1-\cos ^{2})^{2}\cos '=(-1+2\cos ^{2}-\cos ^{4})\cos '$ est $u:x\mapsto -\cos +2{\frac {\cos ^{3}}{3}}-{\frac {\cos ^{5}}{5}}$ ;
une primitive de $x\mapsto \cos ^{4}x={\frac {\cos 4x}{8}}+{\frac {\cos 2x}{4}}+{\frac {3}{8}}$ est $v:x\mapsto {\frac {\sin 4x}{32}}+{\frac {\sin 2x}{8}}+{\frac {3x}{8}}$ ;
une primitive de $f$ est donc $F=u-v$ .

Exercice 5-5

$f=\cos ^{3}\sin ^{2}$ , $g=\cos ^{3}\sin ^{6}$ , $h=\sin ^{3}\cos ^{4}$ , $k=\sin ^{3}\cos ^{5}$ , $\ell =\sin ^{4}$ .

Solution

Une primitive sur $\mathbb {R}$ de $f=(1-\sin ^{2})\sin ^{2}\sin '$ est $F={\frac {\sin ^{3}}{3}}-{\frac {\sin ^{5}}{5}}$ .

Une primitive sur $\mathbb {R}$ de $g=(1-\sin ^{2})\sin ^{6}\sin '$ est $G={\frac {\sin ^{7}}{7}}-{\frac {\sin ^{9}}{9}}$ .

Une primitive sur $\mathbb {R}$ de $h=(\cos ^{2}-1)\cos ^{4}\cos '$ est $H={\frac {\cos ^{7}}{7}}-{\frac {\cos ^{5}}{5}}$ .

Une primitive sur $\mathbb {R}$ de $k=(1-\sin ^{2})^{2}\sin ^{3}\sin '$ est $K_{0}={\frac {\sin ^{4}}{4}}-{\frac {\sin ^{6}}{3}}+{\frac {\sin ^{8}}{8}}$ . Ou encore : une primitive sur $\mathbb {R}$ de $k=(\cos ^{2}-1)\cos ^{5}\cos '$ est $K_{1}={\frac {\cos ^{8}}{8}}-{\frac {\cos ^{6}}{6}}$ .
Vérification : $K_{1}={\frac {(1-\sin ^{2})^{4}}{8}}-{\frac {(1-\sin ^{2})^{3}}{6}}={\frac {3(\sin ^{8}-4\sin ^{6}+6\sin ^{4}-4\sin ^{2}+1)+4(\sin ^{6}-3\sin ^{4}+3\sin ^{2}-1)}{24}}=K_{0}-{\frac {1}{24}}$ .
Remarque : si $p$ et $q$ sont tous deux impairs, pour intégrer $\sin ^{p}\cos ^{q}$ , le changement de variable le plus simple est $u=\sin x$ si $q<p$ et $v=\cos x$ si $p<q$ (pour minimiser l'exposant du binôme à développer).

Si $p+q$ est pair, on peut aussi poser $w=\tan x$ ou $\cot x$ .

Pour $k$ , en posant $w=\tan x$ on trouve $\int {\frac {w^{3}}{(1+w^{2})^{5}}}\,\mathrm {d} w=\int \left({\frac {w}{(1+w^{2})^{4}}}-{\frac {w}{(1+w^{2})^{5}}}\right)\,\mathrm {d} w={\frac {1}{2}}\left({\frac {(1+w^{2})^{-3}}{-3}}-{\frac {(1+w^{2})^{-4}}{-4}}\right)=K_{1}(x)$ , tandis qu'en posant $w=\cot x$ on trouve $\int {\frac {-w^{5}}{(1+w^{2})^{5}}}\,\mathrm {d} w=\int \left({\frac {-w}{(1+w^{2})^{3}}}+{\frac {2w}{(1+w^{2})^{4}}}-{\frac {w}{(1+w^{2})^{5}}}\right)\,\mathrm {d} w={\frac {1}{2}}\left({\frac {-(1+w^{2})^{-2}}{-2}}-{\frac {2(1+w^{2})^{-3}}{-3}}-{\frac {(1+w^{2})^{-4}}{-4}}\right)=K_{0}(x)$ .

Une primitive sur $\mathbb {R}$ de $\ell :x\mapsto {\frac {1}{8}}\left(\cos(4x)-4\cos(2x)+3\right)$ est $L:x\mapsto {\frac {1}{8}}\left({\frac {\sin(4x)}{4}}-2\sin(2x)+3x\right)$ .

En posant $w=\tan x$ on trouve $\int {\frac {w^{4}}{(1+w^{2})^{3}}}\,\mathrm {d} w=\int \left({\frac {1}{1+w^{2}}}-{\frac {2}{(1+w^{2})^{2}}}+{\frac {1}{(1+w^{2})^{3}}}\right)\,\mathrm {d} w$ = (cf. Intégration en mathématiques/Exercices/Primitives 1#Exercice 4-19) $(J_{1}-2J_{2}+J_{3})(w)={\frac {w}{4(1+w^{2})^{2}}}-{\frac {5w}{8(1+w^{2})}}+{\frac {3\arctan w}{8}}={\frac {\sin x\cos ^{3}x}{4}}-{\frac {5\sin x\cos x}{8}}+{\frac {3x}{8}}$ .
Vérification : ${\frac {\sin(4x)}{32}}-{\frac {\sin(2x)}{4}}={\frac {\sin x\cos x(2\cos ^{2}x-1)}{8}}-{\frac {\sin x\cos x}{2}}$ est bien égal à ${\frac {\sin x\cos ^{3}x}{4}}-{\frac {5\sin x\cos x}{8}}$ .
En posant $w=\cot x$ on trouve $-\int {\frac {\mathrm {d} w}{(1+w^{2})^{3}}}=-J_{3}(w)=-{\frac {w}{4(1+w^{2})^{2}}}-{\frac {3}{8}}\left({\frac {w}{1+w^{2}}}+\arctan w\right)=-{\frac {3}{8}}\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)-{\frac {3\cos x\sin x}{8}}-{\frac {\cos x\sin ^{3}x}{4}}$ .
Vérification : $-{\frac {3\cos x\sin x}{8}}-{\frac {\cos x\sin ^{3}x}{4}}$ est bien égal à à ${\frac {\sin x\cos ^{3}x}{4}}-{\frac {5\sin x\cos x}{8}}$ .

Exercice 5-6

$f(x)=\cos ^{2}4x\sin ^{3}4x+\tan ^{2}2x$

Solution

La fonction $x\mapsto \cos ^{2}4x\sin ^{3}4x$ est égale à $-{\frac {1}{4}}u^{2}(1-u^{2})u'$ avec $u(x)=\cos 4x$ donc a pour primitive (sur $\mathbb {R}$ ) ${\frac {-u^{3}}{12}}+{\frac {u^{5}}{20}}$ .

Sur chaque intervalle $I_{k}:=\left]k{\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{4}},k{\frac {\pi }{2}}+{\frac {3\pi }{4}}\right[$ (avec $k\in \mathbb {Z}$ ), une primitive de $x\mapsto \tan ^{2}2x=(1+\tan ^{2}2x)-1$ est $x\mapsto {\frac {\tan 2x}{2}}-x$ .

Sur chaque intervalle $I_{k}$ , une primitive de $f$ est donc

$F:x\mapsto {\frac {-\cos ^{3}4x}{12}}+{\frac {\cos ^{5}4x}{20}}+{\frac {\tan 2x}{2}}-x$ .

Exercice 5-7

$f=\cos ^{2}-{\frac {1}{\cos ^{2}}}$

Solution

Sur chaque intervalle $\left]k\pi -{\frac {\pi }{2}},k\pi +{\frac {\pi }{2}}\right[$ (avec $k\in \mathbb {Z}$ ), une primitive de $f:x\mapsto {\frac {1+\cos 2x}{2}}-\tan 'x$ est

$F:x\mapsto {\frac {x}{2}}+{\frac {\sin 2x}{4}}-\tan x$ .

Exercice 5-8

$f(x)={\frac {\cos x}{(5+4\sin x)^{3}}}$

Solution

$f={\frac {u'}{4u^{3}}}$ avec $u=5+4\sin >0$ donc une primitive de $f$ sur $\mathbb {R}$ est $F={\frac {-1}{8u^{2}}}$ .

Exercice 5-9

$f={\frac {\sin }{\cos ^{3}}}$

Solution

Sur chaque intervalle $\left]k\pi -{\frac {\pi }{2}},k\pi +{\frac {\pi }{2}}\right[$ (avec $k\in \mathbb {Z}$ ), une primitive de $f={\frac {-\cos '}{\cos ^{3}}}$ est $F={\frac {1}{2\cos ^{2}}}$ .

Exercice 5-10

$f(x)={\frac {2x+\cos x}{\sqrt {x^{2}+\sin x}}}$

Solution

La fonction $u(x):=x^{2}+\sin x$ est $>0$ sur deux intervalles : $\left]-\infty ,a\right[$ et $\left]0,+\infty \right[$ (avec $a\approx -0{,}88$ ). Sur chacun de ces deux intervalles, une primitive de $f={\frac {u'}{\sqrt {u}}}$ est $F=2{\sqrt {u}}$ .