Initiation au calcul intégral/Propriétés de l'intégrale

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Dans tout ce chapitre, $f$ et $g$ sont deux fonctions définies et continues sur un intervalle auquel $a,b,c$ appartiennent.

Relation de Chasles

Propriété

• $\int _{a}^{b}f+\int _{b}^{c}f=\int _{a}^{c}f$.
• $\int _{a}^{a}f=0$.
• $\int _{b}^{a}f=-\int _{a}^{b}f$.

Démonstration

Soit $F$ une primitive de $f$. D'après le théorème fondamental de l'analyse,

$\int _{a}^{b}f+\int _{b}^{c}f=[F]_{a}^{b}+[F]_{b}^{c}=[F]_{a}^{c}=\int _{a}^{c}f$.

Les deux autres propriétés font partie de notre définition de l'intégrale.

 

Linéarité de l'intégration

Propriété

• $\int _{a}^{b}(f+g)=\int _{a}^{b}f+\int _{a}^{b}g$.
• $\forall \lambda \in \mathbb {R} \quad \int _{a}^{b}\lambda f=\lambda \,\int _{a}^{b}f$.

Positivité de l'intégration

Début d’un théorème

Théorème

Supposons que $a\leq b$.

• Si $f\geq 0$ alors $\int _{a}^{b}f\geq 0$.
• Si $f\leq g$ alors $\int _{a}^{b}f\leq \int _{a}^{b}g$.

Fin du théorème

Inégalité de la moyenne

Corollaire

Supposons que $a\leq b$. Si $m\leq f\leq M$ alors $m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f\leq M(b-a)$.

Valeur moyenne d'une fonction

Définition

La valeur moyenne de $f$ sur le segment $[a,b]$ si $a<b$ (ou $[b,a]$ si $b<a$) est le réel

${\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f$.

Remarques

• Cette notion généralise celle de moyenne d'un nombre fini de réels en l'appliquant à un nombre infini de valeurs prises par une fonction intégrable.
• Si $f$ est constante, sa valeur moyenne est sa valeur.