Notons
muni du produit scalaire
.
Considérons maintenant
,
,
;
,
et
sont des éléments de
. On pose
.
muni de son produit scalaire est un espace préhilbertien,
et
est un sev de dimension finie de
. Nous avons tous les éléments pour appliquer le théorème de la projection orthogonale :
il existe un unique
qui est le projeté orthogonal de
; il vérifie :
![{\displaystyle (d(f,F))^{2}=\|f-g\|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7cde3e7eb0b102d95ea377a3bd23141debf11e)
et
.
est justement la quantité qu'on cherche puisque :
.
Nous souhaitons donc trouver la valeur de
. D'après le théorème de Pythagore,
. Il suffit donc de trouver
.
Il s'agit pour cela d'expliciter
; on peut le faire grâce à la propriété
.
Nous cherchons
sous la forme
puisque
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}f-g\perp F&\iff \left\{{\begin{array}{l}\langle e_{0}|f-g\rangle =0\\\langle e_{1}|f-g\rangle =0\end{array}}\right.\\&\iff \left\{{\begin{array}{l}\langle e_{0}|f\rangle -\alpha \langle e_{0}|e_{0}\rangle -\beta \langle e_{0}|e_{1}\rangle =0\\\langle e_{1}|f\rangle -\langle e_{1}|e_{0}\rangle -\beta \langle e_{1}|e_{1}\rangle =0\end{array}}\right.\\&\iff \left\{{\begin{array}{l}\alpha \langle e_{0}|e_{0}\rangle +\beta \langle e_{0}|e_{1}\rangle =\langle e_{0}|f\rangle \\\alpha \langle e_{1}|e_{0}\rangle +\beta \langle e_{1}|e_{1}\rangle =\langle e_{1}|1\rangle .\end{array}}\right.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5162d0ee3671032f5a6eb0013966e04c8a1907bd)
Calculons les coefficients de ce système :
;
.
Ainsi :
![{\displaystyle f-g\perp F\iff \left\{{\begin{array}{l}\alpha +{\frac {1}{2}}\beta ={\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}\alpha +{\frac {1}{3}}\beta ={\frac {1}{4}}\end{array}}\right.\iff \left\{{\begin{array}{l}\alpha =-{\frac {1}{6}}\\\beta =1.\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/012d46ed5001ebce1bf95e65c1892b48cacf9129)
On calcule :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|g\|^{2}&=\|\alpha e_{0}+\beta e_{1}\|^{2}=\alpha ^{2}\|e_{0}\|^{2}+2\alpha \beta \langle e_{0}|e_{1}\rangle +\beta ^{2}\|e_{1}\|^{2}\\&=\left(-{\frac {1}{6}}\right)^{2}.1+2.\left(-{\frac {1}{6}}\right).1.{\frac {1}{2}}+1.{\frac {1}{3}}={\frac {7}{36}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7242d05b4714c885f8fc1ef86ef64a7d336fdd9e)
Ainsi :
.
Conclusion :
.