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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonction dérivée : Dérivée d'un quotient
Fonction dérivée/Dérivée d'un quotient », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dérivée d'un inverse
Début d’un théorème
Fin du théorème
Début de l'exemple
Dérivée de la fonction inverse
Fin de l'exemple
Exemple 1
On souhaite dériver la fonction
, définie sur
.
Pour tout
:
.
Exemple 2
On souhaite dériver la fonction
, définie sur
.
Pour tout
:
.
Solution
Pour tout
,
.
est dérivable sur
et, pour tout
:
.
ne s'annule pas sur
donc, d’après le théorème,
est dérivable sur
et, pour tout
:
.
.
Dérivée d'un quotient
Début d’un théorème
Fin du théorème
Démonstration
On peut montrer facilement cette formule à partir de la précédente :
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'&=\left({\frac {u}{v}}\right)'\\&=\left(u\times {\frac {1}{v}}\right)'\\&=u'\cdot {\frac {1}{v}}+u\left({\frac {1}{v}}\right)'\\&={\frac {u'}{v}}-uv'\cdot {\frac {1}{v^{2}}}\\&={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb4a8812f68ecd56c626a06636965477426f886)
Exemple 1
On souhaite dériver la fonction
définie sur
.
Pour tout
:
Exemple 2
On souhaite dériver la fonction
, définie sur
.
Pour tout
: