Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie de manière explicite

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C’est la situation, sans doute, la plus simple. On dira qu’une suite (u_n)_n∈ℕ est définie de manière explicite si u_n est donné par :

$u_n=f(n)$,

$f$ étant une fonction.

La méthode naturelle dans ce cas, pour obtenir un développement de la suite, et d'en calculer un de $f(x)$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$, puis d'y remplacer $x$ par $n$ (le premier terme non nul donnera un équivalent).

Par conséquent, on peut aussi, par exemple, poser $g(t)=f(1/t)$ et calculer un développement de $g(t)$ quand $t\to 0$, puis y remplacer $t$ par $1/n$.

Début de l'exemple

Exemple

Soit la suite (u_n)_n∈ℕ définie par :

$u_n=\sin \frac{1}{n}$.

Le développement limité en 0 de sin à l’ordre 5, par exemple, est :

$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o\left(x^5\right)$.

Par conséquent :

$\sin \frac{1}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{6n^3}+\frac{1}{120n^5}+o\left(\frac{1}{n^5}\right)$.

On n’est, bien sûr, pas obligé de prendre autant de termes dans le développement et l'on peut se contenter, selon les besoins, de :

$\sin \frac{1}{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)$

ou même seulement de :

$\sin \frac{1}{n}=\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$,

qui s'écrit aussi :

$\sin \frac{1}{n}\sim \frac{1}{n}$.

Fin de l'exemple