Équation du troisième degré/Exercices/Sur les tracés de courbes

Nota bene

Dans tous les exercices, nous noterons :

$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d~$

$f'(x)=3ax^{2}+2bx+c~$

$\Delta =b^{2}c^{2}+18abcd-27a^{2}d^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d~$

$\Delta '=4(b^{2}-3ac)~$

$\delta '=b^{2}-3ac~$

$\Psi =2b^{3}+27a^{2}d-9abc~$

C_f la courbe représentative de la fonction f.

Exercice 3-1

Étudier et tracer la fonction g définie par :

$g(x)={\frac {x^{3}}{4}}+{\frac {3x^{2}}{4}}-{\frac {3x}{2}}-2~$

Solution

Domaine de définition.

La fonction est définie sur R car c’est une fonction polynôme.

Limites aux bornes du domaine de définition.

$\lim _{x\to -\infty }g(x)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}}{4}}+{\frac {3x^{2}}{4}}-{\frac {3x}{2}}-2=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{3}}{4}}=-\infty ~$

$\lim _{x\to +\infty }g(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{3}}{4}}+{\frac {3x^{2}}{4}}-{\frac {3x}{2}}-2=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{3}}{4}}=+\infty ~$

Fonction dérivée :

$g'(x)={\frac {3x^{2}}{4}}+{\frac {3x}{2}}-{\frac {3}{2}}={\frac {3(x^{2}+2x-2)}{2}}~$

La dérivée s'annule pour :

$\alpha =-1-{\sqrt {3}}~$

$\beta =-1+{\sqrt {3}}~$

Le maximum relatif est obtenu pour :

$M=g(\alpha )=g(-1-{\sqrt {3}})={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}~$

Le minimum relatif est obtenu pour :

$m=g(\beta )=g(-1+{\sqrt {3}})={\frac {-3{\sqrt {3}}}{2}}~$

Tableau de variation :

${\begin{array}{c|ccccccc}x&-\infty &&\alpha &&\beta &&+\infty \\&&&&&&&\\\hline &&&M&&&&+\infty \\{\textrm {Variations~de}}~g&&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &\\&-\infty &&&&m&&\\\end{array}}$

Études particulières.

L'ordonnée du point d'interception de la courbe avec l'axe des ordonnées est donnée par :

$g(0)=-2~$

Les abscisses des points d'interception avec l'axe des abscisses sont les racines de l'équation :

$g(x)=0~$

Qui en multipliant les deux membres par 4 s'écrit :

$x^{3}+3x^{2}-6x-8=0~$

Les diviseurs du terme constant -8 suivants : -1, -4, 2 sont des racines évidentes et par conséquent sont les abscisses recherchées.

Tracé de la courbe.

Tracé de la courbe

 

Exercice 3-2

Dans les questions a) et b), nous supposerons Δ' positif. Nous appellerons M le maximum relatif atteint par la fonction f et m le minimum relatif atteint par la fonction f.

a) Montrer que :

$m\times M=-{\frac {\Delta }{27a^{2}}}~$

b) Déduire des calculs de l’expression précédente, la relation :

$\Delta ={\frac {4\delta '^{3}-\Psi ^{2}}{27a^{2}}}~$

c) Montrer que la relation obtenue question b) est en fait une relation toujours vraie.

Solution

Nous avons vu dans le cours que :

$m={\frac {\Psi -2\delta '^{\frac {3}{2}}}{27a^{2}}}~$

$M={\frac {\Psi +2\delta '^{\frac {3}{2}}}{27a^{2}}}~$

Par conséquent :

$m\times M=\left({\frac {\Psi -2\delta '^{\frac {3}{2}}}{27a^{2}}}\right)\left({\frac {\Psi +2\delta '^{\frac {3}{2}}}{27a^{2}}}\right)={\frac {\left(\Psi -2\delta '^{\frac {3}{2}}\right)\times \left(\Psi +2\delta '^{\frac {3}{2}}\right)}{27a^{2}\times 27a^{2}}}~$

Nous reconnaissons une identité remarquable, on peut donc écrire :

$m\times M={\frac {\Psi ^{2}-\left(2\delta '^{\frac {3}{2}}\right)^{2}}{27a^{2}\times 27a^{2}}}~$

En simplifiant, on obtient :

$m\times M={\frac {\Psi ^{2}-4\delta '^{3}}{27a^{2}\times 27a^{2}}}\qquad (*)~$

En explicitant les notation, on obtient :

$m\times M={\frac {(2b^{3}+27a^{2}d-9abc)^{2}-4(b^{2}-3ac)^{3}}{27a^{2}\times 27a^{2}}}~$

En développant le numérateur et en regroupant les termes semblables, on obtient :

$m\times M={\frac {729a^{4}d^{2}-486a^{3}bcd+108a^{3}c^{3}+108a^{2}b^{3}d-27a^{2}b^{2}c^{2}}{27a^{2}\times 27a^{2}}}~$

Que l’on peut factoriser ainsi :

$m\times M={\frac {27a^{2}(27a^{2}d^{2}-18abcd+4ac^{3}+4b^{3}d-b^{2}c^{2})}{27a^{2}\times 27a^{2}}}~$

Que l’on simplifie :

$m\times M={\frac {27a^{2}d^{2}-18abcd+4ac^{3}+4b^{3}d-b^{2}c^{2}}{27a^{2}}}~$

Au numérateur, on reconnait l'opposé de Δ. Par conséquent, on a bien :

$m\times M=-{\frac {\Delta }{27a^{2}}}\qquad (**)~$

b) Il suffit d'égaler les relations (*) et (**) :

$-{\frac {\Delta }{27a^{2}}}={\frac {\Psi ^{2}-4\delta '^{3}}{27a^{2}\times 27a^{2}}}~$

On obtient bien, en simplifiant :

$\Delta ={\frac {4\delta '^{3}-\Psi ^{2}}{27a^{2}}}~$

c) Pour montrer que la relation :

$\Delta ={\frac {4\delta '^{3}-\Psi ^{2}}{27a^{2}}}~$

est toujours vraie, il suffit de développer le numérateur du second membre. De factoriser celui-ci par 27a² et de simplifier avec le dénominateur. On constate que l’on obtient bien l’expression du discriminant.

La relation obtenue dans cet exercice est intéressante pour résoudre d'autres exercices. Nous la retiendrons à titre de complément de cours.

Début d’un théorème

Théorème

Le discriminant d'une équation du troisième degré vérifie la relation :

$\Delta ={\frac {4\delta '^{3}-\Psi ^{2}}{27a^{2}}}~$

Fin du théorème

 

Exercice 3-3

Montrer par deux méthodes différentes que :

$\Delta '<0\Rightarrow \Delta <0~$

Solution

Première méthode

On applique simplement le cours.

Si Δ' négatif, cela signifie que la fonction f est monotone et, par conséquent, ne coupe qu'une seule fois l'axe des abscisses. Par conséquent, l'équation :

$f(x)=0~$

n'a qu'une seule racine réelle. Ce qui entraine Δ négatif.

Deuxième méthode

Nous savons compte tenu de l'exercice 3-2, que :

$\Delta ={\frac {4\delta '^{3}-\Psi ^{2}}{27a^{2}}}~$

Ou l’on voit clairement que :

$\delta '<0\Rightarrow \Delta <0~$

Ce qui se traduit par :

$\Delta '<0\Rightarrow \Delta <0~$

 

Exercice 3-4

Soit T une tangente à C_f en un point d'abscisse α.

Montrer que le point de recoupement de la tangente T avec la courbe C_f a une abscisse β indépendante de c et d.

Solution

Commençons par établir l'équation de la tangente à C_f en un point d'abscisse α.

Cette équation est donnée par :

$y=f'(\alpha )(x-\alpha )+f(\alpha )~$

Compte tenu des définitions de f et f', nous obtenons :

$y=(3a\alpha ^{2}+2b\alpha +c)(x-\alpha )+a\alpha ^{3}+b\alpha ^{2}+c\alpha +d~$

Qui se simplifie sous la forme :

$y=(3a\alpha ^{2}+2b\alpha +c)x-2a\alpha ^{3}-b\alpha ^{2}+d~$

Pour trouver l'abscisse du point de recoupement de la tangente T avec la courbe C_f, nous devons résoudre l'équation :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=(3a\alpha ^{2}+2b\alpha +c)x-2a\alpha ^{3}-b\alpha ^{2}+d~$

C'est-à-dire, en mettant tous les termes dans le premier membre et en factorisant selon les puissances décroissantes de x :

$ax^{3}+bx^{2}-(3a\alpha ^{2}+2b\alpha )x+2a\alpha ^{3}+b\alpha ^{2}=0~$

Cette équation ayant été obtenue en égalant l'équation de la courbe avec l'équation de la tangente, nous en déduisons que α est forcément racine double de celle-ci. Pour en déduire la troisième racine β, il nous suffit d'effectuer la division euclidienne du premier membre de l'équation par :

$(x-\alpha )^{2}=x^{2}+2\alpha x+\alpha ^{2}~$

Nous obtenons :

$ax+b+2a\alpha ~$

L'équation se factorise donc sous la forme :

$(ax+b+2a\alpha )(x-\alpha )^{2}=0~$

L'abscisse du point de recoupement de la tangente T avec la courbe C_f est donc donnée par :

$\beta =-{\frac {b+2a\alpha }{a}}~$

Et nous voyons que cette abscisse est bien indépendante de c et d.

 

Exercice 3-5

Soit D une droite interceptant la courbe C_f en trois points distincts.

Montrer que la somme des abscisses des trois points d'interception de C_f et D est une constante indépendante de la droite D.

Solution

Soit :

$y=mx+p~$

l'équation de la droite D.

Comme la courbe C_f a pour équation :

$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d~$

Les abscisses des points d'interception de C_f et D serons les racines de l'équation :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=mx+p~$

Qui peut s'écrire :

$ax^{3}+bx^{2}+(c-m)x+d-p=0~$

Nous savons alors d’après le cours que la somme S des racines est donnée par :

$S=-{\frac {b}{a}}~$

Nous voyons alors clairement que S ne dépend pas de m et de p et, par conséquent, ne dépend donc pas de la droite D

 

Exercice 3-6

Montrer que la courbe C_f admet un centre de symétrie.

Solution

Nous procéderons par analyse et synthèse. Dans l'analyse, nous chercherons quel point est susceptible d’être un centre de symétrie pour la courbe ; et dans la synthèse, nous montrerons que ce point est bien centre de symétrie de la courbe C_f.

Analyse.

Si l’on considère la courbe du troisième degré avec a positif, ayant un maximum relatif et un minimum relatif, il parait nécessaire que le centre de symétrie (s'il existe) soit le milieu du segment joignant les deux extrémums relatifs.

Calculons donc les coordonnées du milieu de ce segment.

Le maximum relatif a pour coordonnées :

$\left\{{\begin{matrix}x={\frac {-b-{\sqrt {\delta '}}}{3a}}\\y={\frac {\Psi +2\delta '^{\frac {3}{2}}}{27a^{2}}}\end{matrix}}\right.~$

Le minimum relatif a pour coordonnées :

$\left\{{\begin{matrix}x={\frac {-b+{\sqrt {\delta '}}}{3a}}\\y={\frac {\Psi -2\delta '^{\frac {3}{2}}}{27a^{2}}}\end{matrix}}\right.~$

Le milieu du segment joignant les deux extrémums relatifs aura donc pour coordonnées :

$\left\{{\begin{matrix}x={\frac {-b}{3a}}\\y={\frac {\Psi }{27a^{2}}}\end{matrix}}\right.~$

Synthèse.

Vérifions que le point I de coordonnées :

$\left\{{\begin{matrix}x={\frac {-b}{3a}}\\y={\frac {\Psi }{27a^{2}}}\end{matrix}}\right.$

est bien un centre de symétrie pour toutes les courbes C_f.

Pour cela, nous ferons un changement de repère de façon à ce que le point I soit l'origine du nouveau repère. Nous vérifierons ensuite que la fonction qui nous intéresse est une fonction impaire dans le nouveau repère. Ce qui montrera que l'origine du nouveau repère est bien centre de symétrie de la courbe.

Dans l'ancien repère, l'équation de la courbe était :

$y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d~$

Nous appellerons X et Y, les coordonnées d'un point dans le nouveau repère.

nous avons alors :

$\left\{{\begin{matrix}x=X-{\frac {b}{3a}}\\y=Y+{\frac {\Psi }{27a^{2}}}=Y+{\frac {2b^{3}+27a^{2}d-9abc}{27a^{2}}}=Y+{\frac {2b^{3}}{27a^{2}}}+d-{\frac {bc}{3a}}\end{matrix}}\right.$

En remplaçant dans :

$y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d~$

Nous obtenons :

$Y+{\frac {2b^{3}}{27a^{2}}}+d-{\frac {bc}{3a}}=a(X-{\frac {b}{3a}})^{3}+b(X-{\frac {b}{3a}})^{2}+c(X-{\frac {b}{3a}})+d~$

En développant les parenthèses, nous obtenons après simplification :

$Y=aX^{3}+\left(c-{\frac {b^{2}}{3a}}\right)X~$

Nous constatons que nous obtenons bien une fonction impaire dans le nouveau repère.

Le point I est donc bien centre de symétrie pour la courbe C_f.

 

Exercice 3-7

On suppose que la courbe C_f a, en son centre de symétrie, une tangente horizontale.

a) En déduire les coordonnées du point d'interception de C_f avec l'axe des abscisses en fonction de a, b, c, d.

b) Montrer que le discriminant est négatif ou nul. Montrer en particulier que, si le discriminant est nul, alors le centre de symétrie se trouve sur l'axe des abscisses.

Solution

a) - L'abscisse du centre de symétrie est -b/3a. Si la tangente en ce point est horizontale, cela signifie que le nombre dérivé en ce point est nul. On a donc :

$f'\left({\frac {-b}{3a}}\right)=0\Leftrightarrow c-{\frac {b^{2}}{3a}}=0\Leftrightarrow c={\frac {b^{2}}{3a}}\Leftrightarrow 3ac=b^{2}~$

Pour trouver l'abscisse du point d'interception recherchée, nous devons résoudre :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0~$

Premier cas : Si b n’est pas nul.

Multiplions les deux membres de l'équation par 3bc, on obtient :

$3abcx^{3}+3b^{2}cx^{2}+3bc^{2}x+3bcd=0~$

Nous voyons apparaître 3ac dans le coefficient de degré trois que nous pouvons remplacer par b² comme établi précédemment, on obtient :

$b^{3}x^{3}+3b^{2}cx^{2}+3bc^{2}x+3bcd=0\Leftrightarrow b^{3}x^{3}+3b^{2}cx^{2}+3bc^{2}x=-3bcd~$

Ajoutons c³ aux deux membres :

$b^{3}x^{3}+3b^{2}cx^{2}+3bc^{2}x+c^{3}=c^{3}-3bcd~$

Nous reconnaissons au premier membre le développement de (bx + c)³, nous obtenons donc :

$(bx+c)^{3}=c(c^{2}-3bd)~$

Qui peut s'écrire :

$bx+c={\sqrt[{3}]{c(c^{2}-3bd)}}~$

Nous obtenons finalement :

$x={\frac {{\sqrt[{3}]{c(c^{2}-3bd)}}-c}{b}}~$

Comme le point d'interception appartient à l'axe des abscisses, son ordonnée est nulle.

Nous pouvons conclure que les coordonnées du point d'interception de C_f avec l'axe des abscisses sont :

$\left({\frac {{\sqrt[{3}]{c(c^{2}-3bd)}}-c}{b}};0\right)~$

Deuxième cas : Si b est nul.

Alors la relation :

$3ac=b^{2}~$

Entraine que c est nul aussi.

L'équation à résoudre se réduit donc à :

$ax^{3}+d=0~$

Qui nous donne :

$x={\sqrt[{3}]{\frac {-d}{a}}}~$

Nous pouvons conclure que les coordonnées du point d'interception de C_f avec l'axe des abscisses sont alors :

$\left({\sqrt[{3}]{\frac {-d}{a}}};0\right)~$

b) - Nous avons vu dans l'exercice 3-2 que :

$\Delta ={\frac {4\delta '^{3}-\Psi ^{2}}{27a^{2}}}~$

Nous avons vu aussi dans la question précédente que si la tangente au centre de symétrie est horizontale, on a :

$3ac=b^{2}\Leftrightarrow b^{2}-3ac=0\Leftrightarrow \delta '=0~$

L'expression du discriminant se simplifie donc ainsi :

$\Delta =-{\frac {\Psi ^{2}}{27a^{2}}}~$

Et nous voyons que le discriminant est négatif.

De plus, si l’on sait que le discriminant est nul, on aura :

$\Psi =0~$

Divisons les deux membres de cette dernière égalité par 27a², on obtient :

${\frac {\Psi }{27a^{2}}}=0~$

On reconnaît au premier membre l'ordonnée du centre de symétrie (exercice 3-6). Comme cette ordonnée est nulle, on peut en déduire que le centre de symétrie est sur l'axe des abscisses.