Leçons de niveau 14

Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan

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Résolution par la méthode de Cardan
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Exercices no4
Leçon : Équation du troisième degré
Chapitre du cours : Méthode de Cardan

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sur les tracés de courbes
Exo suiv. :Simplification des racines
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Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan
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Exercice 4-1[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre par la méthode de Cardan les quatre équations suivantes :

a)   ;

b)   ;

c)   ;

d)   ;

Exercice 4-2[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre par la méthode de Cardan les deux équations suivantes :

a)   ;

b)  .

Exercice 4-3[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre par la méthode de Cardan les deux équations suivantes (déjà rencontrées dans l'exercice 1-3) :

α)  ;
β) .

Exercice 4-4[modifier | modifier le wikicode]

En résolvant l'équation suivante par deux méthodes différentes :

,

montrer que :

.

Exercice 4-5[modifier | modifier le wikicode]

La méthode suivante est due à François Viète (1540-1603).

  1. Montrer que pour un nombre (complexe) donné, tout nombre est de la forme pour au moins un (non nul).
  2. On suppose et dans l'équation
    ,
    on effectue un changement de variable de la forme :
    .
    Quelle équation polynomiale en obtient-on ?
  3. Pour quel choix du paramètre cette équation est-elle bicarrée en (c'est-à-dire de la forme ) ? Préciser alors et et résoudre cette équation.
  4. Retrouver ainsi les formules de Cardan.

Exercice 4-6[modifier | modifier le wikicode]

La méthode suivante est due à Joseph Louis Lagrange (1736-1813).

Soient les solutions de (numérotées dans un ordre arbitraire). On pose :

  •  ;
  •  ;
  • .
  1. Quel est l'effet, sur ces trois expressions, d'une permutation des  ?
  2. En déduire que , et sont des polynômes symétriques en .
  3. Le retrouver par calcul direct, et exprimer , et en fonction de .
  4. En déduire un algorithme pour calculer , puis .
  5. Retrouver ainsi les formules de Cardan.