Équation du quatrième degré/Méthodes particulières de résolution
Dans cette leçon, nous allons étudier quelques méthodes particulières de résolution des équations du quatrième degré. Nous attirons d'emblée l'attention du lecteur sur le fait que ces méthodes ne marchent que dans des cas très particuliers. L'avantage de ces méthodes sur les méthodes générales que nous verrons dans les chapitres suivants sera qu’elles sont plus simples à utiliser et donnent la plupart du temps les racines sous une forme plus agréable.
Élimination du terme de degré 3
[modifier | modifier le wikicode]Une technique standard (et préliminaire aux méthodes de Ferrari, Descartes et Lagrange des chapitres suivants) est de commencer par simplifier l'équation de la façon suivante :
L'équation générale de degré 4 :
est équivalente, par le changement de variable
- ,
à une équation sans terme de degré 3 :
- .
est de la forme car le coefficient de est .
Résolution par la recherche d'une racine évidente
[modifier | modifier le wikicode]Nous commençons par rechercher une racine évidente et une fois celle-ci trouvée, nous nous ramenons, grâce à elle, à la résolution d’une équation du troisième degré.
Recherche d'une racine évidente (12)
[modifier | modifier le wikicode]Rechercher une racine évidente, c’est essayer de trouver une racine sans utiliser de méthodes sophistiquées. On essaye de remplacer x par des nombres simples jusqu'à ce que l’équation soit vérifiée. Heureusement, cette recherche est facilitée par la propriété suivante :
Si l'équation à coefficients entiers :
admet une racine sous forme de fraction irréductible p/q, alors p divise e et q divise a.
Par exemple, pour l’équation :
,
nous essayerons seulement les nombres : 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, qui sont les diviseurs du terme constant 6.
Pour l’équation :
,
nous rajouterons, en plus des nombres précédents, les nombres :
.
Factorisation du premier membre (12)
[modifier | modifier le wikicode]Soit l'équation :
.
Supposons que l’on ait réussi à lui trouver une racine simple sous la forme :
.
On peut alors utiliser le théorème suivant :
Si l’équation :
admet une racine sous la forme :
elle peut alors se factoriser sous la forme :
avec polynôme du troisième degré.
Posons :
.
Effectuons la division euclidienne de P(x) par qx - p. Il existe un unique polynôme Q(x) et un unique polynôme R(x) tel que :
avec :
.
On en déduit que le degré de R(x) est 0 et par conséquent R(x) est une constante r.
On aura donc :
.
Calculons la constante r. Pour cela, remplaçons x par p/q.
,
soit :
.
On obtient donc :
.
L'équation :
Se factorise donc sous la forme :
.
De plus, de la relation :
on déduit :
et donc :
.
Il ne nous reste plus qu’à résoudre l'équation :
qui est du troisième degré pour trouver les trois racines manquantes.
On aura ainsi complètement résolu une équation du quatrième degré.
Équation bicarrée
[modifier | modifier le wikicode]L'équation du quatrième degré :
est dite bicarrée si :
- et .
L'usage veut qu'on la note plus simplement :
- .
Les équations bicarrées :
se résolvent simplement en posant : .
Nous voyons qu’elles s'écrivent alors :
et nous nous sommes simplement ramenés à la résolution d'une équation de second degré.
Par le changement de variable :
- ,
l'équation du quatrième degré :
se ramène à une équation bicarrée si et seulement si :
- .
Notons les polynômes symétriques élémentaires en les et ceux en les avec (donc ). Alors,
donc la nouvelle équation est bicarrée si et seulement si
- .
Équations réciproques du quatrième degré
[modifier | modifier le wikicode]Équations symétriques
[modifier | modifier le wikicode]Elles sont de la forme :
.
En divisant tous les termes par x2, on obtient :
que l’on peut écrire :
.
Posons alors :
.
On a alors :
.
L'équation devient alors :
c'est-à-dire :
et nous nous sommes ramenés à une équation du second degré qui nous donnera deux valeurs pour z. En portant respectivement ces deux valeurs de z dans :
,
nous obtiendrons deux équations du second degré de la forme :
,
chacune des deux équations nous donnant deux valeurs de x, soit en tout quatre valeurs de x, qui sont les solutions de l'équation que l’on avait à résoudre initialement.
Équations antisymétriques
[modifier | modifier le wikicode]Elles sont de la forme :
.
En divisant tous les termes par x2, on obtient :
que l’on peut écrire :
.
Posons alors :
.
On a alors :
.
L'équation devient alors :
,
c'est-à-dire :
et nous nous sommes ramenés à une équation du second degré qui nous donnera deux valeurs pour z. En portant respectivement ces deux valeurs de z dans :
,
nous obtiendrons deux équations du second degré de la forme :
,
chacune des deux équations nous donnant deux valeurs de x, soit en tout quatre valeurs de x, qui sont les solutions de l'équation que l’on avait à résoudre initialement.
Équations quasisymétriques
[modifier | modifier le wikicode]Elles généralisent les deux cas précédents et répondent à la définition suivante :
L'équation du quatrième degré :
est dite quasisymétrique (ou plus simplement réciproque) si elle vérifie la condition :
avec b non nul.
En posant , ces équations peuvent s'écrire :
- .
En divisant tous les termes par x2, on obtient :
que l’on peut écrire :
- .
Posons alors :
- .
On a alors :
- .
L'équation devient alors :
- ,
c'est-à-dire :
- ,
et nous sommes ramenés à une équation du second degré qui nous donnera deux valeurs pour . En portant respectivement ces deux valeurs de dans :
- ,
nous obtiendrons deux équations du second degré de la forme :
- ,
chacune des deux équations nous donnant deux valeurs de , soit en tout quatre valeurs de , qui sont les solutions de l'équation que l’on avait à résoudre initialement.