Leçons de niveau 14

Équation du quatrième degré/Méthode de Ferrari

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Méthode de Ferrari
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Chapitre no 5
Leçon : Équation du quatrième degré
Chap. préc. : Méthodes particulières de résolution
Chap. suiv. : Méthode de Descartes

Exercices :

Sur la méthode de Ferrari
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Équation du quatrième degré/Méthode de Ferrari
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Nous allons voir une première méthode générale de résolution des équations du quatrième degré. C'est la première méthode à avoir été élaborée. Elle est due à Ludovico Ferrari.


Exercice d'échauffement[modifier | modifier le wikicode]

Développons le produit :

Nous obtenons :

Cette opération ne nous a pas beaucoup posé de problème. Nous savons faire cela depuis longtemps.

Mais supposons que l’on nous ait posé le problème inverse. C'est-à-dire :

Factoriser le polynôme :

Sous forme de produit de deux polynômes du second degré à coefficients entiers. Là, le problème est moins évident. Comment allons-nous procéder ? Nous allons pour cela utiliser la méthode de Ferrari :

Nous commencerons par poser :




Dans notre cas particulier, on obtient :

Nous remarquerons ensuite que pour tout paramètre y, nous avons :

En reportant cette valeur de z4 dans l'égalité précédente, nous obtenons :

Nous allons maintenant essayer de déterminer y de façon à ce que l’expression entre crochets s'écrive sous forme de carré pour pouvoir utiliser la très célèbre identité remarquable a2 - b2 = (a-b)(a+b).

L'expression :

peut être considérée comme un polynôme du second degré en z (pour autant que y soit différent de -6). Elle pourra se mettre sous forme de carré si son discriminant est nul (revoir éventuellement le cours sur les équations du second degré).

Calculons son discriminant :

Nous devons donc choisir une valeur de y qui annule le discriminant, ce qui revient à résoudre l'équation du troisième degré d'inconnue y :

Une recherche de racine évidente montre que -3/2 satisfait l'équation. nous poserons donc :

Nous pouvons alors continuer notre calcul entamé plus haut :

Et nous constatons que nous avons bien réobtenu la factorisation d'où nous étions partis au début de ce paragraphe


Analyse de l'exercice d’échauffement[modifier | modifier le wikicode]

Le point essentiel du calcul fait précédemment se trouve au niveau de la résolution de l'équation :

En effet, cette équation, qui est du troisième degré, avait une racine évidente. On peut légitimement penser que si cette équation n'avait pas eu une racine évidente, le calcul se serait considérablement compliqué. En fait, le polynôme que nous devions factorisé :

a été obtenu à partir du développement du produit :

et c’est pour cela que l'équation du troisième degré a une racine évidente. Chaque fois qu'un polynôme du quatrième degré peut se factorise comme produit de deux polynômes du second degré à coefficients rationnels, l'équation du troisième degré intervenant dans le calcul aura au moins une racine évidente.

Nous invitons donc le lecteur pour s'entraîner à cet exercice à commencer par développer un produit de deux polynôme du second degré à coefficients entiers pris au hasard et à essayer ensuite de refactoriser le polynôme du quatrième degré obtenu.

Nous vous invitons aussi, avant d’aborder le paragraphe suivant, à faire l'exercice 5-1.


Généralisation à la résolution des équations du quatrième degré[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce paragraphe, nous allons décrire la méthode de Ferrari permettant de résoudre toutes les équations du quatrième degré :

Le principe de cette méthode va consister à essayer de factoriser le premier membre de l'équation sous forme de produit de deux polynômes du second degré comme nous l'avons fait dans l'exercice d'échauffement pour pouvoir se ramener à la résolution de deux équations du second degré. La seule différence réside dans le fait que le polynôme du troisième degré intervenant dans les calculs n'aura pas forcément une racine évidente.


Nous savons qu'en posant :

Nous nous ramenons à une équation de la forme :


Comme dans le paragraphe précédent, nous remarquerons que :

Le premier membre de l'équation précédente s'écrira alors :

Nous allons maintenant essayer de déterminer y de façon que l’expression entre crochets s'écrive sous forme de carré pour pouvoir utiliser la très célèbre identité remarquable a2 - b2 = (a-b)(a+b).

L'expression :

peut être considérée comme un polynôme du second degré en z (pour autant que 2y - p soit non nul). Elle pourra se mettre sous forme de carré si son discriminant est nul (revoir éventuellement le cours sur les équations du second degré).

Calculons son discriminant :


Nous devons donc choisir une valeur de y qui annule le discriminant, ce qui revient à résoudre l'équation du troisième degré d'inconnue y :


Soient y1, y2, y3 les trois racines de cette dernière équation. Laquelle de ces trois racines allons-nous choisir ? D'un point de vue théorique, cela n'a aucune importance. D'un point de vue pratique, nous choisirons, bien sûr, celle qui nous parait la plus simple. Par exemple, s'il y a une racine réelle et deux racines complexes conjuguées, nous choisirons, sauf cas particulier, la racine réelle.

Supposons, pour fixer les idées, que la racine que nous choisissons est y1 et reprenons le calcul commencé précédemment en remplaçant y par y1 et en tenant compte que cette valeur annule le discriminant de (2y1-p)z2 - qz + y12-r.


On obtient :

Nous avons donc :

Soit :

Soit :

Nous voyons que nous nous sommes ramené à la résolution de deux équations du second degré :


Pour la première équation, le discriminant est :

Et donc :


Pour la deuxième équation, le discriminant est :

Et donc :


Finalement, en utilisant la relation :

nous obtenons :


Résumé de la méthode de Ferrari[modifier | modifier le wikicode]

Ce que nous avons fait au paragraphe précédent peut peut-être paraître laborieux. Nous allons essayer, pour faciliter les choses, de donner le strict minimum nécessaire de la méthode de Ferrari dans un encadré.

on a :

Début d’un principe


Fin du principe