Leçons de niveau 14

Équation du quatrième degré/Fonctions polynômes du quatrième degré

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Fonctions polynômes du quatrième degré
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Chapitre no 3
Leçon : Équation du quatrième degré
Chap. préc. :Généralités sur les équations du quatrième degré
Chap. suiv. :Méthodes particulières de résolution

Exercices :

Sur les tracés de courbes
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Dans ce chapitre, nous étudierons les courbes du quatrième degré. Nous verrons que l'allure générale du tracé d'une courbe du quatrième degré dépend principalement de deux éléments. Le premier élément est le signe du coefficient du terme de plus haut degré. Le deuxième élément est le discriminant du troisième degré de la dérivée de la fonction à étudier. Le discriminant du quatrième degré de la fonction n'intervient, quant à lui, seulement pour préciser le nombre de points d'intersection entre la courbe et l'axe des abscisses.


Définition des éléments nécessaires à l'étude des fonctions polynômes du quatrième degré[modifier | modifier le wikicode]



Panneau d’avertissement Pour l'étude générale des fonctions polynomiales du quatrième degré, il est très important de prendre a non nul, sinon on n'aurait plus une fonction du quatrième, mais du troisième degré maximum.

De la définition précédente, on déduit qu'une fonction polynôme du quatrième degré est définie sur tout entier.










Le tableau de variation de la fonction du quatrième degré à étudier dépend uniquement du signe du terme de plus haut degré et de Δ'. Dans la suite de ce chapitre, nous distinguerons donc quatre cas selon le signe du coefficient du terme de plus haut degré et selon le signe de Δ'. Pour chacun des quatre cas nous tracerons les différentes courbes possibles associées au tableau de variation établi pour le cas considéré.

Premier cas : Le coefficient du terme de plus haut degré est positif et Δ' est strictement positif[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Dans le tableau suivant, nous avons représenté les trois allures possibles de la courbe sans considérer le repère.

Les 3 cas qui peuvent se présenter
a > 0 b3 - 4abc + 8a2d > 0 b3 - 4abc + 8a2d = 0 b3 - 4abc + 8a2d < 0
Courbe quatrième degré 01.png
Courbe quatrième degré 02.png
Courbe quatrième degré 03.png

Pour fixer les idées, nous considérerons pour le tableau suivant que :

Dans les autres cas, nous obtenons un tableau similaire.


On rappelle la définition du sottien Ψ de l'équation :

La présence du sottien dans le tableau suivant est justifiée dans l'exercice 3-5.

nous obtenons

Les 6 cas qui peuvent se présenter
a > 0 Δ < 0 Δ > 0 Δ = 0
Ψ > 0
Courbe quatrième degré 06.png
Cas douteux Cas douteux
Ψ < 0
Courbe quatrième degré 10.png
Cas douteux
Courbe quatrième degré 09.png


Nous allons analyser plus en détail les trois cas douteux apparaissant dans le tableau.


Premier cas : Δ > 0 et Ψ > 0[modifier | modifier le wikicode]

Nous pouvons avoir l'un des deux cas suivant :

Les 2 cas qui peuvent se présenter
a > 0 premier cas deuxième cas
Courbe quatrième degré 04.png
Courbe quatrième degré 08.GIF

Pour le deuxième cas, la réciproque n’est pas vraie car on peut aussi avoir cette configuration avec Δ > 0 et Ψ < 0 comme indiqué dans le paragraphe suivant.

Deuxième cas : Δ > 0 et Ψ < 0[modifier | modifier le wikicode]

Alors nous avons :

Le seul cas qui peut se présenter
a > 0 premier cas
Courbe quatrième degré 08.GIF


Mais la réciproque n’est pas vraie car nous avons déjà vu cette configuration dans le premier cas. C'est pour cela que nous avons préféré ne pas faire figurer ce cas dans le tableau.


troisième cas : Δ = 0 et Ψ > 0[modifier | modifier le wikicode]

Nous pouvons avoir l'un des deux cas suivant :

Les 2 cas qui peuvent se présenter
a > 0 premier cas deuxième cas
Courbe quatrième degré 05.png
Courbe quatrième degré 07.png

Dans le premier cas, nous avons une racine double et deux racines complexes conjuguées.

Dans le deuxième cas, nous avons une racine double et deux racines réelles.


Deuxième cas : Le coefficient du terme de plus haut degré est positif et Δ' est négatif ou nul[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Dans le tableau suivant, nous avons représenté les cinq allures possibles de la courbe sans considérer le repère.

Nous savons que les abscisses des points d'inflexion sont les racines de la dérivée seconde. Par conséquent, si le discriminant de la dérivée seconde est négatif, il n'y aura pas de point d'inflexion et si le discriminant de la dérivée seconde est positif, il n'y aura deux points d'inflexions. Nous avons donc, dans le tableau suivant, distingué ces deux cas selon le signe de δ".

Les 5 cas qui peuvent se présenter
a > 0 b3 - 4abc + 8a2d < 0 b3 - 4abc + 8a2d = 0 b3 - 4abc + 8a2d > 0
δ" < 0 Courbe quatrième degré 22.png Courbe quatrième degré 23.png Courbe quatrième degré 24.png
δ" > 0 Courbe quatrième degré 21.png impossible Courbe quatrième degré 25.png

Pour fixer les idées, nous considérerons pour le tableau suivant que :

Dans les autres cas, nous obtenons un tableau similaire.

Les 3 cas qui peuvent se présenter
a > 0 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0
Δ' <= 0 Courbe quatrième degré 26.png Courbe quatrième degré 27.png Courbe quatrième degré 28.png



Troisième cas : Le coefficient du terme de plus haut degré est négatif et Δ' est strictement positif[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Dans le tableau suivant, nous avons représenté les trois allures possibles de la courbe sans considérer le repère.

Les 3 cas qui peuvent se présenter
a < 0 b3 - 4abc + 8a2d > 0 b3 - 4abc + 8a2d = 0 b3 - 4abc + 8a2d < 0
Courbe quatrième degré 13.png Courbe quatrième degré 12.png Courbe quatrième degré 11.png

Pour fixer les idées, nous considérerons pour le tableau suivant que :

Dans les autres cas, nous obtenons un tableau similaire.


En posant :

nous obtenons

Les 6 cas qui peuvent se présenter
a < 0 Δ < 0 Δ > 0 Δ = 0
Ψ > 0 Courbe quatrième degré 20.png Cas douteux Courbe quatrième degré 19.png
Ψ < 0 Courbe quatrième degré 16.png Cas douteux Cas douteux


Nous allons analyser plus en détail les trois cas douteux apparaissant dans le tableau.


Premier cas : Δ > 0 et Ψ < 0[modifier | modifier le wikicode]

Nous pouvons avoir l'un des deux cas suivant :

Les 2 cas qui peuvent se présenter
a < 0 premier cas deuxième cas
Courbe quatrième degré 14.png Courbe quatrième degré 18.png

Pour le deuxième cas, la réciproque n’est pas vraie car on peut aussi avoir cette configuration avec Δ > 0 et Ψ > 0 comme indiqué dans le paragraphe suivant.

Deuxième cas : Δ > 0 et Ψ > 0[modifier | modifier le wikicode]

Alors nous avons :

Le seul cas qui peut se présenter
a < 0 premier cas
Courbe quatrième degré 18.png


Mais la réciproque n’est pas vraie car nous avons déjà vu cette configuration dans le premier cas. C'est pour cela que nous avons préféré ne pas faire figurer ce cas dans le tableau.


troisième cas : Δ = 0 et Ψ < 0[modifier | modifier le wikicode]

Nous pouvons avoir l'un des deux cas suivant :

Les 2 cas qui peuvent se présenter
a < 0 premier cas deuxième cas
Courbe quatrième degré 15.png Courbe quatrième degré 17.png

Dans le premier cas, nous avons une racine double et deux racines complexes conjuguées.

Dans le deuxième cas, nous avons une racine double et deux racines réelles.


Quatrième cas : Le coefficient du terme de plus haut degré est négatif et Δ' est négatif ou nul[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Dans le tableau suivant, nous avons représenté les cinq allures possibles de la courbe sans considérer le repère.

Nous savons que les abscisses des points d'inflexion sont les racines de la dérivée seconde. Par conséquent, si le discriminant de la dérivée seconde est négatif, il n'y aura pas de point d'inflexion et si le discriminant de la dérivée seconde est positif, il n'y aura deux points d'inflexions. Nous avons donc, dans le tableau suivant, distingué ces deux cas selon le signe de δ".

Les 5 cas qui peuvent se présenter
a > 0 b3 - 4abc + 8a2d < 0 b3 - 4abc + 8a2d = 0 b3 - 4abc + 8a2d > 0
δ" < 0 Courbe quatrième degré 34.png Courbe quatrième degré 33.png Courbe quatrième degré 32.png
δ" > 0 Courbe quatrième degré 35.png impossible Courbe quatrième degré 31.png

Pour fixer les idées, nous considérerons pour le tableau suivant que :

Dans les autres cas, nous obtenons un tableau similaire.

Les 3 cas qui peuvent se présenter
a > 0 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0
Δ' <= 0 Courbe quatrième degré 36.png Courbe quatrième degré 37.png Courbe quatrième degré 38.png