Leçons de niveau 14

Équation différentielle/Exercices/Charge d'un condensateur

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Charge d'un condensateur
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Exercices no6
Leçon : Équation différentielle
Chapitre du cours : Résolution de l'équation différentielle y'=ay+b

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Application en démographie
Exo suiv. :Vitesse terminale en chute libre
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Équation différentielle/Exercices/Charge d'un condensateur
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Un circuit comprend un générateur de force électromotrice , une résistance R et un condensateur C en série.

Series-RC.svg

La tension aux bornes du condensateur est égale à la somme des tensions aux bornes du générateur et de la résistance , donc :

.

La charge du condensateur et l'intensité du courant produit sont liés par la relation :

.

Expression de q(t)[modifier | modifier le wikicode]

  1. Démontrer que .
  2. Résoudre cette équation différentielle.
  3. Si le condensateur est sans charge initiale, exprimer q en fonction de t.

La constante de temps[modifier | modifier le wikicode]

  1. Déterminer la charge finale Q du condensateur, c'est-à-dire la limite de la fonction q en .
  2. On note . À quel pourcentage de sa charge maximale Q le condensateur est-il chargé après une durée de charge égale à  ; à  ?

Étude de la fonction q[modifier | modifier le wikicode]

  1. Préciser les variations de la fonction .
  2. Vérifier que la droite , où a pour coordonnées , est la tangente à la courbe à l'origine O.
  3. Tracer , sa tangente en O, son asymptote horizontale dans le cas où , et pour .

Étude de l'intensité i(t) et de sa courbe Γ[modifier | modifier le wikicode]

  1. Démontrer que .
  2. Préciser les variations de .
  3. Vérifier que la droite , où a pour coordonnées et où A est le point d'intersection de l'axe des ordonnées avec , est tangente à en A.
  4. Tracer et dans le cas où , et pour .