Équation de bilan de la quantité de mouvement/Forme globale

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La forme globale de l'équation de bilan de la quantité de mouvement est un équation équivalente à la forme générale du principe fondamental de la dynamique. Pour un volume $V$ donné, on peut écrire que la dérivée totale de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces qui s'exercent sur le fluide contenu dans le volume $V$.

${\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{V}{\overrightarrow {F}}$.

Il existe deux familles de forces :

• les forces de contact, surfaciques (pression, viscosité),
• les forces volumiques, à distance (poids, force électromagnétique).

L'équation peut se décomposer ainsi :

${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {p}}}{\mathrm {d} t}}={\overrightarrow {F_{S}}}+{\overrightarrow {F_{V}}}$.

Nous allons établir plusieurs expressions de la forme intégrale, ou forme globale, de l'équation de bilan de la quantité de mouvement.

Dérivée particulaire

La dérivée particulaire de la quantité de mouvement

${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho {\overrightarrow {v}}\,\mathrm {d} V$

peut s'exprimer de plusieurs façons :

${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {p}}}{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial (\rho {{\overrightarrow {v}})}}{\partial t}}+{\overrightarrow {\mathrm {div} }}\left(\rho {\overrightarrow {v}}\otimes {\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\mathrm {d} (\rho {\overrightarrow {v}})}{\mathrm {d} t}}+\rho \,{\overrightarrow {v}}\,{\hbox{div}}\ {\overrightarrow {v}}\right)\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho {\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} V$.

Ici la deuxième expression peut se simplifier : en partant de la dérivée particulaire de la densité volumique de quantité de mouvement

${\frac {\mathrm {d} (\rho {\overrightarrow {v}})}{\mathrm {d} t}}=\rho {\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\overrightarrow {v}}$,

puis en ajoutant de part et d'autre le terme $\rho \,{\overrightarrow {v}}\,{\hbox{div}}\ {\overrightarrow {v}}$, il vient :

${\frac {\mathrm {d} (\rho {\overrightarrow {v}})}{\mathrm {d} t}}+\rho \,{\overrightarrow {v}}\,{\hbox{div}}\ {\overrightarrow {v}}=\rho {\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}+\underbrace {\left({\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}+\rho \ {\hbox{div}}\,{\overrightarrow {v}}\right)} _{=0}{\overrightarrow {v}}$,

où l'on reconnaît, au dessus de l'accolade, la forme non-conservative de l'équation de continuité.

La dérivée particulaire de la quantité de mouvement prend alors un expression très simple :

${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {p}}}{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho {\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} V$.

Forces volumiques

Les forces de volume peuvent s'exprimer simplement :

${\overrightarrow {F_{V}}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {f_{V}}}\,\mathrm {d} V$.

Dans la grande majorité des cas en mécanique des fluides, la seule force à distance que subit le fluide est son poids. Dans ce cas :

${\overrightarrow {F_{V}}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\mathrm {d} m\,{\overrightarrow {g}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho \,{\overrightarrow {g}}\,\mathrm {d} V$.

Cette force est elle-même souvent négligée dans le cas des gaz.

Forces surfaciques

Les forces de surface qui s'appliquent sur la surface $S$ fermée, frontière du volume $V$ sont un peu plus subtiles à détailler.

On peut noter :

${\overrightarrow {F_{S}}}=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {\mathrm {d} F_{S}}}$

Elles sont modélisées par une matrice nommée tenseur des contraintes.

${\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{pmatrix}}$.

de sorte que

${\overrightarrow {\mathrm {d} F_{S}}}={\overline {\overline {\tau }}}\times {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}\mathrm {d} S_{x}\\\mathrm {d} S_{y}\\\mathrm {d} S_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}\,\mathrm {d} S_{x}+\tau _{xy}\,\mathrm {d} S_{y}+\tau _{xz}\,\mathrm {d} S_{z}\\\tau _{yx}\,\mathrm {d} S_{x}+\sigma _{yy}\,\mathrm {d} S_{y}+\tau _{yz}\,\mathrm {d} S_{z}\\\tau _{zx}\,\mathrm {d} S_{x}+\tau _{zy}\,\mathrm {d} S_{y}+\sigma _{zz}\,\mathrm {d} S_{z}\\\end{pmatrix}}$.

On peut exprimer les forces de surface :

${\overrightarrow {F_{S}}}=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overline {\overline {\tau }}}\times {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}{\mathrm {d} V}$,

où ${\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}$ est la divergence de la matrice ${\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}$ qui est définie de la façon suivante :

${\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial z}}\\{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{yy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial z}}\\{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}\\\end{pmatrix}}$.

Équation bilan

Le bilan de la quantité de mouvement peut donc s'écrire :

$\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial (\rho {{\overrightarrow {v}})}}{\partial t}}+{\overrightarrow {\mathrm {div} }}\left(\rho {\overrightarrow {v}}\otimes {\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {f_{V}}}\,\mathrm {d} V+\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overline {\overline {\tau }}}\times {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}$,

ou encore plus simplement

$\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho {\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {f_{V}}}\,\mathrm {d} V+\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overline {\overline {\tau }}}\times {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}$.