Leçons de niveau 16

Équation de bilan de la quantité de mouvement/Forme globale

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Chapitre no 1
Leçon : Équation de bilan de la quantité de mouvement
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La forme globale de l'équation de bilan de la quantité de mouvement est un équation équivalente à la forme générale du principe fondamental de la dynamique. Pour un volume donné, on peut écrire que la dérivée totale de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces qui s'exercent sur le fluide contenu dans le volume .

.


Il existe deux familles de forces :

  • les forces de contact, surfaciques (pression, viscosité),
  • les forces volumiques, à distance (poids, force électromagnétique).

L'équation peut se décomposer ainsi :

.

Nous allons établir plusieurs expressions de la forme intégrale, ou forme globale, de l'équation de bilan de la quantité de mouvement.

Dérivée particulaire[modifier | modifier le wikicode]

La dérivée particulaire de la quantité de mouvement

peut s'exprimer de plusieurs façons[1] :

.

Ici la deuxième expression peut se simplifier : en partant de la dérivée particulaire de la densité volumique de quantité de mouvement

,

puis en ajoutant de part et d'autre le terme , il vient :

,

où l'on reconnaît, au dessus de l'accolade, la forme non-conservative de l'équation de continuité.

La dérivée particulaire de la quantité de mouvement prend alors un expression très simple :

.

Forces volumiques[modifier | modifier le wikicode]

Les forces de volume peuvent s'exprimer simplement :

.

Dans la grande majorité des cas en mécanique des fluides, la seule force à distance que subit le fluide est son poids. Dans ce cas :

.

Cette force est elle-même souvent négligée dans le cas des gaz.

Forces surfaciques[modifier | modifier le wikicode]

Les forces de surface qui s'appliquent sur la surface fermée, frontière du volume sont un peu plus subtiles à détailler.

On peut noter :

Elles sont modélisées par une matrice[2] nommée tenseur des contraintes[3].

.

de sorte que[4]

.

On peut exprimer les forces de surface :

,

est la divergence de la matrice qui est définie de la façon suivante :

.

Équation bilan[modifier | modifier le wikicode]

Le bilan de la quantité de mouvement peut donc s'écrire :

,


ou encore plus simplement

.


Notes[modifier | modifier le wikicode]

  1. Voir l'établissement de cette relation dans le chapitre Dérivée particulaire de la leçon Cinétique des fluides.
  2. Une matrice est un tenseur d'ordre (ou de rang) 2
  3. [pdf] Olivier Louisnard, « Cours de mécanique des fluides », p. 50
  4. Mécanique des fluides appliquée, Pierre-Louis Viollet, Jean-Paul Chabard, Pascal Esposito.