Module sur un anneau/Définitions

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**Définitions**
Leçon : Module sur un anneau

Chapitre 1
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Module sur un anneau/Définitions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Ce premier chapitre peut être abordé dès le premier cycle universitaire ou en classes préparatoires en France, même si les notions sont souvent introduites en licence 3 ou en maitrise.

Dans tout le chapitre A désigne un anneau, la somme est notée + et le produit noté multiplicativement.

[modifier] Définition d'un module sur un anneau

Un module sur A (ou A-module) est un ensemble M muni d'une loi de composition interne +, et d'un loi de composition externe (par A) $\times$ tel que:

M soit un groupe commutatif ;
$\forall \lambda \in A,\forall x,y\in E,\;\lambda\times(x+y)=\lambda\times x +\lambda\times y$ ;
$\forall \lambda,\mu \in A,\forall x\in E,\;(\lambda +\mu)\times x=\lambda\times x +\mu\times x$ ;
$\forall \lambda,\mu \in A,\forall x,\;(\lambda \mu)\times x=\lambda\times ( \mu \times x)$ ;
$\forall x\in E,\;1 \times x =x$ .

Un sous-A-module' est un sous-groupe M de (M,+) tel que A.M soit inclus dans M.

Remarque: Ces axiomes sont les mêmes que ceux d'un espace vectoriel. Lorsque l'anneau A est un corps, le module est donc un espace vectoriel.

Exemple : A est un A-module et ses sous-A-modules sont par définition ses idéaux.

Les Z-modules sont exactement les groupes commutatifs et les sous-Z-modules d'un Z-module sont exactement ses sous-groupes commutatifs.

Un morphisme de A-modules $f:M\rightarrow M'$ est un morphisme de groupes commutatifs vérifiant :

$\forall \lambda \in A, f(\lambda.m)=\lambda.f(m)$ .

[modifier] Modules libres et de type fini

Un A-module M est dit de type fini lorsque M est engendré par un nombre fini d'éléments.

Une famille $(m i)$ est dite libre lorsque l'application $\bigoplus_IA\rightarrow M:(a_i)\mapsto \sum_Ia_im_i$ est injective.

Un A-module M est dit libre lorsqu'il existe une famille libre génératrice (= une base).

Exemple :' Z/n.Z est un Z-module de type fini qui n'est pas libre.

Si A est un anneau commutatif, alors :

Une base d'un A-module de type fini, si elle existe, est finie. Dans ce cas, on dit que c'est A-module libre de type fini.
Toutes les bases d'un A-module libre de type fini ont même cardinal, appelé le rang de M.

Si A est un anneau noethérien, tout sous-module d'un A-module de type fini est de type fini.

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