Module sur un anneau/Module sur un anneau principal

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**Module sur un anneau principal**
Leçon : Module sur un anneau

Chapitre 2
Chap. préc. :	Définitions

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Module sur un anneau/Module sur un anneau principal », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce chapitre, A est un anneau principal.

[modifier] Modules libres sur les anneaux principaux

En algèbre linéaire, la dimension d'un espace vectoriel est (strictement) supérieure à la dimension d'un sous-espace (strict). Un module libre de type fini sur un anneau non principal peut contenir un sous-module non finiment engendré.

Si M est un module libre de type fini sur un anneau principal A, tout sous-module N de M est libre de type fini. Plus précisément, son rang est inférieur ou égal au rang de M.

Remarque : Si A n'est pas un corps, il existe un élément non inversible et non nul x de A. En particulier, x.A est un sous-A-module strict de A ; il est de rang 1, égal au rang de A. Le rang d'un sous-module strict peut donc être égal au rang du module.

En conséquence, on constate que tous les modules projectifs sur un anneau principal sont libres.

Preuve

On procède par récurrence sur le rang n de M :

Initialisation :

Un A-module libre de type fini de rang 1 est isomorphe à A. Un sous-module de A est un idéal I de A. Comme A est principal, il est de la forme xA, donc il admet x comme base. En particulier, c'est un A-module libre de type fini et de rang 1.

Induction :

On suppose que le résultat est vérifié pour tous les modules libres de type fini de rang n-1.

Prenons $\epsilon_1,\dots,\epsilon_n$ une base de M, et considérons P le sous-module engendré par $\epsilon_1,\dots,\epsilon_{n-1}$ . P est un A module libre de type fini de rang n-1. Par l'hypothèse de récurrence, $N\cap P$ est un libre de type fini de rang k<n. Il existe donc une base $(f_2,\dots,f_{k+1})$ de $N\cap P$ .

Si N est inclus dans P, on a prouvé que N est libre, de type fini et de rang k<n. Sinon, introduisons l'idéal I des scalaires atels qu'il existe v dans

P

avec $a\epsilon_1+v\in N$ . Comme A est principal, I est de la forme dA avec d non nul. Comme d appartient à I, il existe y dans P tel que

f k + 1 = d e 1 + y

appartienne à N.

Famille génératrice :

On vérifie pourc ommencer que $(f_1,\dots,f_{k+1})$ engendre N.

Si v appartient à N, alors v se décompose : $v=\sum_{i=1}^n\lambda_ie_i$ ; par définition, l'idéal I=dA contient

λ 1

. Il existe donc a tel que

λ 1 = a d

. Donc :

x = a (d ε 1 + y) + (z - a y) = a f k + 1 + z'

où

z'

appartient à $N\cap P$ .

En décomposant

z'

selon la base $f_1,\dots, f_k$ , on montre que x s'exprime en fonction de $(f_1,\dots,f_{k+1})$ .

Famille libre :

Supposons donnés des scalaires non tous nuls $\lambda_1,\dots,\lambda_k,\lambda_{k+1}$ vérifiant $\sum_{i=1}^{k+1}\lambda_if_i=0$ . Alors

λ k + 1

est non nul (car $(f_1,\dots,f_{k})$ est une famille libre).

L'écriture ci-dessus donne : $\lambda_{k+1}f_{k+1}=\lambda_{k+1}(d\epsilon_1+y)\in N\cap P$ . En particulier,

λ k + 1 d ε 1

appartient à 'Pp, donc $λ k + 1 d = 0$ . Ceci contredit l'intégrité de A.

[modifier] Théorème de la base adaptée

Théorème de la base adaptée :

Soient un A-module M libre de rang n, et N un sous-A-module de M.

Alors il existe une base $(e_1,\dots,e_n)$ de M et des scalaires $(d_1,\dots, d_n)$ tels que :

Pour tout indice i<n, $d i + 1$ est un diviseur de $d i$ ;
Le A-module N est engendré par $(d_1e_1,\dots, d_ne_n)$ .

Le théorème généralise le théorème de la base incomplète pour les espaces vectoriels. Si K est un corps, et que F est un sous-K -espace vectoriel de E, toute base de F se complète en une base de E. En dimension infinie, le théorème de la base adaptée est une conséquence de l'axiome du choix. Cependant en dimension finie, le résultat peut s'obtenir par récurrence sur la dimension.

Pour un module, malheureusement, on ne peut pas compléter une base d'un sous-module. La difficulté tient en l'inexistence d'un "supplémentaire" : 2Z n'a pas de supplémentaire dans Z. Cependant, le théorème de la base adaptée affirme qu'on peut définir simultanément des bases d'un module et de son sous-module.

La preuve du théorème de la base adaptée s'effectue aussi par récurrence sur le rang n de M. Pour n=1, le A-module libre de rang 1 M est isomorphe à A. Comme A est principal, ses sous-A-modules sont d.A avec d élément de A. Le résultat annoncé est donc vérifié. Reste à vérifier l'induction. L'idée est de définir pour commencer $e n$ convenablement pour appliquer l'hypothèse de récurrence à un "supplémentaire".

Induction

Supposons le résultat vérifié pour tous les A-modules de rang n-1.

Définition de $f n = d n e n$ et de $d n$ :

L'ensemble X des images f(N) des morphismes de A-modules $f:M\rightarrow A$ forment une famille non vide d'idéaux de A. Comme A est principal, il est en particulier noethérien. Il existence donc un idéal maximal de X, écrit sous la forme g(N). Comme A est principal, g(N)=d_nA. Fixons

f n

dans N' tel que

g (f n) = d n

. On va montrer l'existence d'un élément

e n

de M vérifiant

d n e n = f n

.

Confirmation du choix de $d n$ :

Si $f:M\rightarrow A$ est un morphisme de A-modules, notons provisoirement c l'image de f_n par f et b le pgcd de c et de d. La relation de Bézout donne des coefficients

α

et

β

vérifiant :

α c + β d = b

. En particulier,

α f + β g

est un morphisme $M\rightarrow A$ valant b en

f n

. Par définition de g, b doit diviser d ; donc d et b sont associés ; autrement dit, d divise c. En particulier, g(N) est le plus grand idéal de X.

Définition de $e n$ :

Choississons provisoirement une base $(\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)$ de M. L'application

π i

qui à x dans M associe sa i-ième coordonnée est un morphisme de A modules $M\rightarrow A$ .

Écrivons $f_n=\sum_{k=1}^na_k\epsilon_k$ . Le résultat précédent montre que

a k = π k (f n)

est divisible par

b n

et donc peut s'écrire sous la forme :

a k = b n u k

. Définissons $e_n=\sum_{k=1}^nu_k\epsilon_k$ . Alors on obtient :

f n = b n e n

.

Définition du supplémentaire :

Tout élément x de M s'écrit :

x = g (x) e n + (x - g (x) e n)

, donc comme la somme d'un élément de

A e n

et d'un élément du noyau de g.

Ses deux sous-A-module sont en somme directe car g vaut 1 sur

e n

, donc :

$M=Ae_n\oplus Ker(g)$ .

Décomposition de N :

Via l'identité ci-dessus, on a :

$N=Ad_ne_n\oplus Ker(g)\cap N$ .

Application de l'hypothèse de récurrence :

Comme A est principal, tout sous-module d'un module libre de type fini de rang n est un sous-module libre de type fini de rang k<n (partie précédente à rédiger !). En particulier, Ker(g) est un A-module libre de type fini de rang n-1. Appliquons l'hypothèse de récurrence au sous-A-module $Ker(g)\cap N$ .

Il existe une base $e_1,\dots,e_{n-1}$ de Ker(g), des scalaires $d_1,\dots,d_{n-1}$ où

d i + 1

divise

d i

pour tout i<n-1, tels que $d_1e_1,\dots,d_{n-1}e_{n-1}$ engendrent $N\cap Ker(g)$ . Donc, $(e_1,\dots, e_n)$ est une base de M et $(d_1e_1,\dots,d_{n}e_{n}$ engendre N.

De plus,

d n A = g (N)

contient

π n - 1 (N) = d n - 1 A

. Donc

d n

divise

d n - 1

. D'où le résultat !

Par récurrence, on conclut.

[modifier] Classification des modules de type fini

Pour un module de type fini M, il existe un unique entier r et une unique séquence d'éléments non nuls $d_1,\dots,d_s$ de A, telle que $d i + 1$ divise $d i$ pour tout i<s, vérifiant :

$M=A^r\oplus\bigoplus_{k=1}^sA/d_iA$ .

L'existence est une conséquence du théorème de la base adaptée. Dire que M est de type fini équivaut à l'existence d'un morphisme surjectif $A^n\rightarrow M$ . On dispose donc de la suite exacte :

$0\rightarrow N\rightarrow A^n\rightarrow M\rightarrow 0$ .

En particulier, M est le conoyau de $N\rightarrow A^n$ . Donc, M est isomorphe au module quotient $A n / N$ . Appliquons le théorème de la base adaptée au sous-module N de $A n$ . Il existe une base $(e_1,\dots,e_n)$ de $A n$ , des facteurs $d_1,\dots d_n$ , avec $d i + 1$ un diviseur de $d i$ pour i<n, tels que $d_1e_1,\dots,d_ne_n$ engendre N. Donc :

$M=A^n/N=\sum_{i=1}^nA/d_iA$ .

L'unicité demande cependant un travail supplémentaire (à faire).

Module sur un anneau

Définitions

Module sur un anneau/Module sur un anneau principal

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[modifier] Modules libres sur les anneaux principaux

[modifier] Théorème de la base adaptée

[modifier] Classification des modules de type fini

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