Anneau (mathématiques)/Définitions

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Leçon : Anneau (mathématiques)

Chapitre 1
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Sommaire

1 Anneau
2 Sous-anneau
3 Exemples
4 Idéaux
5 Typologie des anneaux

[modifier] Anneau

Définition

On appelle anneau $\ ( A , + , * )$ tout triplet constitué d'un ensemble non vide $\ A$ et de deux lois de composition interne $\ +$ et $\ *$ sur $\ A$ qui vérifient :

$\ ( A,+)$ est un groupe commutatif ;
$\ *$ est associative ;
$\ *$ admet un élément neutre dans $\ A$ ;
$\ *$ est distributive par rapport à $\ +$ i.e. $\forall$ $\ a_1$ , $\ a_2$ , et $\ a_3$ , on a la relation $\ ( a_1 + a_2) * a_3 = ( a_1 * a_3) + ( a_2 * a_3)$

De plus, l'anneau $\ ( A , +, * )$ est dit commutatif si la loi $\ *$ est commutative.

On peut utiliser la formule mnémo-technique L.A.N.S + C pour retenir le cahier des charges des groupes, L.A.N.D + C en plus pour celui des anneaux.

[modifier] Sous-anneau

Définition

Soit $\ ( A , +, \cdot )$ un anneau et $\ B$ une partie de $\ A$ .

$\ B$ est un sous-anneau de $\ ( A , +, \cdot )$ si et seulement si $\ B$ vérifie :

$\ B$ est stable pour la loi $\ +$ , i.e. quels que soient $\ b_1$ et $\ b_2$ de $\ B$ , $\ b_1 + b_2 \in\ B$
L'élément neutre de $\ ( A , +, \cdot )$ pour la loi $\ +$ appartient à $\ B$
$\ B$ est stable par passage au symétrique pour la loi $\ +$ , i.e. quel que soit $\ b$ de $\ B$ , son symétrique $\ -b \in\ B$
$\ B$ est stable pour la loi $\ \cdot$ , i.e. quels que soient $\ b_1$ et $\ b_2$ de $\ B$ , $\ b_1 \cdot b_2 \in\ B$
L'élément neutre de $\ ( A , +, \cdot )$ pour la loi $\cdot$ appartient à $\ B$

On précise qu'un sous-anneau hérite d'une structure d'anneau

[modifier] Exemples

L'ensemble $\mathbb{Z}$ est muni d'une structure naturelle d'anneau donnée par la multiplication et l'addition traditionnelle.

Si l'on se donne un corps $\mathbb{K}$ par exemple $\mathbb{R}$ , ou $\mathbb{C}$ , alors l'ensemble des polynomes à coefficients dans $k$ noté traditionnellement $\mathbb{K}[X]$ est muni d'une structure d'anneau.

[modifier] Idéaux

Définition

Soit $\ ( A , + , \cdot )$ un anneau et $I \subset A \,$ .

est un idéal à gauche de si, et seulement si :
- $\left. \begin{array}{l} 0 \in I \\ \forall x,y \in I , x + y \in I \\ \forall x\in I, -x\in I\end{array}\right\rbrace$ i.e. $\ ( I, + )$ est un sous groupe additif de $\ ( A , + )$
- $\forall x \in I , \forall \lambda \in A , \lambda \cdot x \in I \,$ .
I est un idéal à droite de si, et seulement si :
- $\left. \begin{array}{l} 0 \in I \\ \forall x,y \in I , x + y \in I \\ \forall x\in I, -x\in I\end{array}\right\rbrace$ i.e. $\ ( I, + )$ est un sous groupe additif de $\ ( A , + )$
- $\forall x \in I , \forall \lambda \in A , x \cdot\lambda \in I \,$ .
$\ I$ est un idéal bilatère de $\ A$ si et seulement si il est à la fois un idéal à gauche et un idéal à droite de $\ A$ .

Remarque :  Dans le cas des anneaux commutatifs, les trois types d'idéaux sont confondus.

[modifier] Typologie des anneaux

En mathématiques on rencontre toutes sortes d'anneaux, on a donc crée au cours des siècles une classification importantes des anneaux, nous donnons ici les principaux types d'anneaux que l'on peut rencontrer. On considèrera dans cette section un anneau $A$ qui sera supposé commutatif.

Définition

Un anneau $\ A$ ( $\ A\not=\{0\}$ ) est dit intègre s'il ne possède pas de diviseurs de zéro i.e. $\forall (a,b) \in A^2 \quad ab=0 \Rightarrow a=0$ ou $\ b=0$ .

Anneau (mathématiques)

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[modifier] Anneau

[modifier] Sous-anneau

[modifier] Exemples

[modifier] Idéaux

[modifier] Typologie des anneaux

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