Espace vectoriel/Dimension

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**Dimension**
Leçon : Espace vectoriel

Chapitre 4
Chap. préc. :	Familles de vecteurs
Chap. suiv. :	Rang

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Espace vectoriel : Dimension
Espace vectoriel/Dimension », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Soient E et F deux $\mathbb K$ -espaces vectoriels.

Sommaire

1 Espace vectoriel de dimension finie
- 1.1 Définition
- 1.2 Existence de bases
2 Dimension
3 Dimension et sous-espace vectoriel
- 3.1 Dimension d'un sous-espace vectoriel
- 3.2 Existence de supplémentaires

[modifier] Espace vectoriel de dimension finie

[modifier] Définition

Définition

E est de dimension finie ssi E admet une famille génératrice finie.

[modifier] Existence de bases

Théorème

On suppose E de dimension finie et non réduit à {0}.

Soient I et J deux ensembles finis tels que $J \subset I$ .
Soit une famille de vecteurs de E vérifiant :
- $(x_i)_{i\in I}$ est génératrice
- $(x_i)_{i\in J}$ est libre

Alors il existe une partie B de I telle que :

$J\subset B$
$(x_i)_{i\in B}$ est une base de E

Théorème

Un $\mathbb K$ -espace vectoriel de dimension finie non réduit à {0} admet une base.

Démonstration

On considère l'ensemble de tous les sous espaces de $E$ admettant une base, muni de la relation d'inclusion, cet ensemble est inductif pour cette relation. Par le lemme de Zorn, il existe alors $F$ un élément maximal pour cette relation d'ordre. Soit $F = E$ , soit il existe $x\in E-F$ , mais alors $F\oplus \mathbb Kx$ admet une base et contient strictement $F$ , ceci est exclu. Donc $E = F$ et le théorème est prouvé.

Théorème de la base incomplète

Toute famille libre de E peut être complétée en une base de E.

Théorème de la base extraite

De toute famille génératrice de E on peut extraire une base de E.

[modifier] Dimension

On suppose désormais E et F de dimension finie.

[modifier] Définitions

Théorème

On suppose E non réduit à {0}. Toutes les bases de E possèdent le même nombre de vecteurs.

Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie

Ce nombre de vecteurs commun est appelé dimension de E, et est noté $\dim_{\mathbb K}(E)$ .

Par convention, la dimension de {0} est 0.

[modifier] Isomorphismes

Théorème

Soit $n\in \mathbb N^*$ . Si E est de dimension n, alors E est isomorphe à $\mathbb K^n$ .

Théorème

E et F sont isomorphes ssi $\dim_{\mathbb K}(E)=\dim_{\mathbb K}(F)$

[modifier] Dimension de ExF

Théorème

$\dim_{\mathbb K}(E \times F)=\dim_{\mathbb K}(E)+\dim_{\mathbb K}(F)$

[modifier] Dimension et sous-espace vectoriel

[modifier] Dimension d'un sous-espace vectoriel

Théorème

Soit E' un sous-espace vectoriel de E (on rappelle que E est de dimension finie).

Alors $\dim_{\mathbb K}(E')\leq\dim_{\mathbb K}(E)$ .

On a égalité ssi $E'=E\,$

[modifier] Existence de supplémentaires

Théorème

Tout sous-espace vectoriel de E admet un supplémentaire.

Espace vectoriel

Familles de vecteurs

Rang

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Sommaire

[modifier] Espace vectoriel de dimension finie

[modifier] Définition

[modifier] Existence de bases

[modifier] Dimension

[modifier] Définitions

[modifier] Isomorphismes

[modifier] Dimension de ExF

[modifier] Dimension et sous-espace vectoriel

[modifier] Dimension d'un sous-espace vectoriel

[modifier] Existence de supplémentaires

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