Application (mathématiques)/Famille

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Famille
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Chapitre 4
Leçon : Application (mathématiques)
Chap. préc. : Injection, surjection, bijection
Chap. suiv. : Application caractéristique


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Étant donné un ensemble E quelconque, nous voulons indicer certains éléments de E, pas forcément avec des entiers naturels comme avec les suites, mais avec les éléments d'un ensemble I d'indices. Nous allons donc définir une famille d'éléments de E comme une application de I dans E, ce qui va permettre d'attribuer à des éléments de E plusieurs indices.

Définition :

Soient E et I deux ensembles. Nous appelons famille d'éléments de E indexée par I, toute application de I dans E. L'ensemble I s'appelle ensemble des indices. Si x:i\longmapsto x(i) est une famille, nous notons xi l'image de i par x et (x_i)_{i\in I} cette famille.

Si I est une partie de \mathbb N, alors la famille est une suite.

Si I est un ensemble fini, alors la famille est dite finie.

Si E est remplacé par \mathcal P(E), alors x est appelée une famille de parties de E.

Remarque :

Attention, une famille n'est pas nécessairement injective, et donc deux indices différents peuvent être attribués à un même élément de E.

Définition :

Soient E un ensemble quelconque et I un ensemble d'indices. Soit A une partie de E, l'injection

\begin{matrix}\iota: & A & \rightarrow & E\\& x & \mapsto & x\end{matrix}

est une famille indexée par A et se note généralement (x)_{x\in A}. Elle est appelée famille canoniquement associée à la partie A.

Sommaire

[modifier] Opérations sur les familles

Définition :

Soient E un ensemble quelconque et I un ensemble d'indices. Soit (A_i)_{i\in I} une famille de parties de E.

  • Nous appelons réunion de la famille (A_i)_{i\in I}, l'ensemble
\left\{x\in E/ \exists i\in I, x\in A_i\right\},

noté \bigcup_{i\in I}A_i.

  • Nous appelons intersection de la famille (A_i)_{i\in I}, l'ensemble
\left\{x\in E/ \forall i\in I, x\in A_i\right\},

noté \bigcap_{i\in I}A_i.

[modifier] Changement d'indice

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque et (A_i)_{i\in I} une famille quelconque de parties de E, et soit s: J\rightarrow I une application surjective de J sur I. Nous avons

  1. \bigcup_{j\in J}A_{s(j)}=\bigcup_{i\in I}A_i
  2. \bigcap_{j\in J}A_{s(j)}=\bigcap_{i\in I}A_i

[modifier] Associativité

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque et (A_i)_{i\in I} une famille quelconque de parties de E, et soit (J_k)_{k\in K} une famille de parties non vides de I telle que la réunion soit égale à I. Nous avons alors

  1. \bigcup_{i\in I}A_{i}=\bigcup_{k\in K}\bigcup_{i\in J_k}A_i
  2. \bigcap_{i\in I}A_{i}=\bigcap_{k\in K}\bigcap_{i\in J_k}A_i

[modifier] Distributivité

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque, (A_i)_{i\in I} une famille quelconques de parties de E et A une partie de E. Nous avons

  1. A\cap\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)=\bigcup_{i\in I} (A\cap A_i)
  2. A\cup\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)=\bigcap_{i\in I} (A\cup A_i)

[modifier] Distributivité généralisée

Proposition :

Soient E un ensemble quelconque, (A_i)_{i\in I} et (B_j)_{j\in J} deux familles quelconques de parties de E. Nous avons

  1. \left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\cup \left(\bigcap_{j\in J}A_j\right)=\bigcap_{(i,j)\in I\times J} (A_i\cup B_j)
  2. \left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)\cap \left(\bigcup_{j\in J}A_j\right)=\bigcup_{(i,j)\in I\times J} (A_i\cap B_j)

[modifier] Passage au complémentaire

Proposition (lois de Morgan):

Soient E un ensemble quelconque, (A_i)_{i\in I} une famille quelconques de parties de E. Nous avons

  1. \complement_E\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)=\bigcap_{i\in I} \complement_E A_i
  2. \complement_E\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)=\bigcup_{i\in I} \complement_E A_i

[modifier] Recouvrement, partition

Définition (recouvrement d'un ensemble) :

Soit E un ensemble quelconque et (A_i)_{i\in I} une famille quelconque de parties de E. Nous disons que cette famille forme un recouvrement de E si la réunion des parties de la famille est égale à E, c'est-à-dire si

\bigcup_{i\in I}A_i=E.

Définition (partition d'un ensemble) :

Soit E un ensemble quelconque et (A_i)_{i\in I} une famille quelconque de parties de E. Nous disons que cette famille constitue une partition de E si les propositions suivantes sont vérifiées

  1. aucune des parties Ai n'est vide, c'est-à-dire \forall i\in I, A_i\neq \emptyset,
  2. les parties Ai sont deux à deux disjointes, c'est-à-dire \forall (i, j)\in I^2, i\neq j\Rightarrow A_i\cap A_j=\emptyset,
  3. la réunion des parties de la famille est égale à E, c'est-à-dire \bigcup_{i\in I}A_i=E.

[modifier] Image directe et image réciproque

Proposition :

Soient E et F deux ensembles quelconques, f une application de E dans F, (A_i)_{i\in I} une famille quelconque de parties de E et (B_j)_{j\in J} une famille quelconque de parties de F. Nous avons

  1. f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)=\bigcup_{i\in I} f(A_i)
  2. f\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\subset\bigcap_{i\in I} f(A_i)
  3. f^{-1}\left(\bigcup_{j\in J}B_j\right)=\bigcup_{j\in J} f^{-1}(B_j)
  4. f^{-1}\left(\bigcap_{j\in J}B_j\right)=\bigcap_{j\in J} f^{-1}(B_j)
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