Fonction dérivée/Dérivées usuelles

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Dérivées usuelles

Chapitre no4
Leçon : Fonction dérivée
Chap. préc. :	Fonction dérivée
Chap. suiv. :	Dérivée et variations
Exercices :	Dériver un polynôme

   

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Définitions

Début d'une définition

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. La fonction $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable pour tout point $a$ de $I$.

La fonction qui à $x$ associe $f'(x)$ est la fonction dérivée de $f$.

Fin de la définition

Dérivées des fonctions usuelles

Fonctions $f(x) = x^n$ avec $n \in \Z$

Début d'un théorème

Théorème

On donne la formule suivante :

$f'(x)=nx^{n-1}$

Fin du théorème

D'où : $f(x) = x = x^1 \Rightarrow f'(x) = 1x^0 = 1$

$f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x^1 = 2x$

$f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2$

$f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \Rightarrow f'(x) = -1x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

Tableau récapitulatif des dérivées usuelles

$f(x)$	$f'(x)$	Intervalle de dérivabilité
$\lambda$	$0$	$\R$
$x$	$1$	$\R$
$mx+p$	$m$	$\R$
$x^n, n \in \Z$	$nx^{n-1}$	si $n > 0 : \R$ si $n < 0 : \R^{*}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$\R^{*}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$\R_+^*$
$\cos(x)\,$	$-\sin(x)\,$	$\R$
$\sin(x)\,$	$\cos(x)\,$	$\R$
$\tan(x)\,$	$\frac{1}{\cos(x)^2}\,$	$\R \setminus \{{\frac{\pi}{2}+k\pi / k \in \Z}\}$
$\exp(x)\,$	$\exp(x)\,$	$\R$
$\ln(x)\,$	$\frac{1}{x}\,$	$\R_+^*$

Tableau récapitulatif :dérivée et opérations

Opération	Dérivée	Précision
$u+v\,$	$u'+v'\,$
$u\times v\,$	$u'v+uv'\,$
$\frac{u}{v}\,$	$\frac{u'v-uv'}{v^2}\,$	si $v\,$ ne s'annule pas
$k\times u\,$	$k\times u'\,$	$k\,$ est une constante réelle
$k+u\,$	$u'\,$	$k\,$ est une constante réelle

Fonction dérivée

Fonction dérivée

Dérivée et variations