Fonction dérivée/Dérivées usuelles

Une page de Wikiversité.

**Dérivées usuelles**
Leçon : Fonction dérivée

Chapitre 5
Chap. préc. :	Dérivée et variations
Chap. suiv. :	Dérivée d'un produit

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonction dérivée : Dérivées usuelles
Fonction dérivée/Dérivées usuelles », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Définitions
2 Dérivées des fonctions usuelles
- 2.1 Fonctions f(x) = xⁿ avec
- 2.2 Tableau récapitulatif des dérivées usuelles
3 Tableau récapitulatif :dérivée et opérations

[modifier] Définitions

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . La fonction $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable pour tout point $a$ de $I$ .

La fonction qui à $x$ associe $f'(x)$ est la fonction dérivée de $f$ .

[modifier] Dérivées des fonctions usuelles

[modifier] Fonctions $f (x) = x n$ avec $n \in \Z$

Théorème

On donne la formule suivante :

$f'(x) = n x n - 1$

D'où : $f(x) = x = x^1 \Rightarrow f'(x) = 1x^0 = 1$

$f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x^1 = 2x$

$f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2$

$f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \Rightarrow f'(x) = -1x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

[modifier] Tableau récapitulatif des dérivées usuelles

$f (x)$	$f'(x)$	Intervalle de dérivabilité
$λ$	$0$	$\R$
$x$	$1$	$\R$
$m x + p$	$m$	$\R$
$x^n, n \in \Z$	$n x n - 1$	si $n > 0 : \R$ si $n < 0 : \R^{*}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$\R^{*}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$\R^{+}$
$cos(x)\,$	$-sin(x)\,$	$\R$
$sin(x)\,$	$cos(x)\,$	$\R$
$e^x\,$	$e^x\,$	$\R$

[modifier] Tableau récapitulatif :dérivée et opérations

Opération	Dérivée	Précision
$u+v\,$	$u'+v'\,$
$u\times v\,$	$u'v+uv'\,$
$\frac{u}{v}\,$	$\frac{u'v-uv'}{v^2}\,$	si $v\,$ ne s'annule pas
$k\times u\,$	$k\times u'\,$	$k\,$ est une constante réelle
$k+u\,$	$u'\,$	$k\,$ est une constante réelle