Fonction dérivée/Fonction dérivée

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**Fonction dérivée**
Leçon : Fonction dérivée

Chapitre 3
Chap. préc. :	Équation d'une tangente
Chap. suiv. :	Dérivée et variations

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Fonction dérivée/Fonction dérivée », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Définition
2 Calcul basique
3 Dérivées des fonctions usuelles
- 3.1 Fonctions ƒ : x → xⁿ avec n ∈ Z^*
- 3.2 Tableau récapitulatif des dérivées usuelles

[modifier] Définition

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans $\R$

Dérivabilité

On dit que ƒ est dérivable sur $I$ si, pour tout $a\in I$ , ƒ est dérivable en a, c'est-à-dire que le nombre dérivé de ƒ en a (noté ƒ'(a)) existe.

Supposons maintenant ƒ dérivable sur I. On peut alors définir la fonction dérivée de ƒ.

Fonction dérivée

La fonction dérivée de ƒ, notée $f'\,$ ,est la fonction qui, à chaque $x\in I$ associe le nombre dérivé de ƒ en x : $f'(x)\,$ .

$\begin{array}{ccccc} f'&:&I&\rightarrow&\R\\ ~&~&x&\mapsto&f'(x) \end{array}$

[modifier] Calcul basique

Dans ce paragraphe, on montre comment calculer à partir de la définition la fonction dérivée d'une fonction donnée sur l'exemple de la fonction carré.

Exemple

On considère la fonction $f: x \mapsto x^2$ , dont on admet la dérivabilité sur $\R$ .

Soit $a\in\R$ . On cherche à calculer le nombre dérivé de ƒ en a, c'est-à-dire $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Soit $h\in\R$ :

$\begin{align} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} &= \frac{(a+h)^2-a^2}{h}\\ &= \frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\ &= \frac{2ah+h^2}{h}\\ &= 2a+h \end{align}$

Le nombre dérivé de ƒ en a est donc $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=2a$ , et ce pour tout $a\in\R$ .

On en déduit que la fonction dérivée de $f:x\mapsto x^2$ est $f':x\mapsto 2x$ .

On voit bien que cette méthode induit rapidement de gros calculs, aussi par la suite on apprendra une table des dérivées pour les fonctions les plus couramment employées afin d'éviter cette corvée.

[modifier] Dérivées des fonctions usuelles

[modifier] Fonctions ƒ : x → xⁿ avec n ∈ Z^*

Théorème

Soit $n\in\mathbb Z^*$

La fonction $f:x\mapsto x^n$ est dérivable sur $\R$

Pour tout $x\in\R,~f'(x)=n\,x^{n-1}$

Quelques dérivées de fonctions de la forme x → xⁿ

$f(x) = x = x^1 \Rightarrow f'(x) = 1x^0 = 1$
$f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x^1 = 2x$
$f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2$
$f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \Rightarrow f'(x) = -1x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

[modifier] Tableau récapitulatif des dérivées usuelles

Soit $n\in\mathbb Z^*$

Soient $a\in\R$ et $b\in\R$

$f (x)$	$f'(x)$	Intervalle de dérivabilité
$\lambda\,$	$0\,$	$\R$
$x\,$	$1\,$	$\R$
$ax+b\,$	$a\,$	$\R$
$x^n\,$	$n\,x^{n-1}$	si $n > 0 : \R$ si $n < 0 : \R^{*}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$\R^{*}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0;+\infty[$
$\cos(x)\,$	$-\sin(x)\,$	$\R$
$\sin(x)\,$	$\cos(x)\,$	$\R$