Fonction dérivée/Dérivée d'un produit

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**Dérivée d'un produit**
Leçon : Fonction dérivée

Chapitre 6
Chap. préc. :	Extremum local
Chap. suiv. :	Dérivée de la puissance énième d'une fonction

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Fonction dérivée/Dérivée d'un produit », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Dérivée d'une fonction puissance
- 1.1 Exemples
2 Dérivée d'un produit
- 2.1 Exemples
- 2.2 Avec des racines carrées

[modifier] Dérivée d'une fonction puissance

Théorème

La dérivée de la fonction $x\mapsto x^n$ est $x\mapsto n.x^{n-1}$

[modifier] Exemples

$f:x\mapsto x^5$

ƒ est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x\in\R,~f'(x)=\dots$

$f'\left(\frac13\right)=\dots$

Solution

ƒ est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x\in\R,~f'(x)=5x^4\,$

$f'\left(\frac13\right)=5\frac1{3^4}=\frac5{81}$

$f:x\mapsto x^{-1}$

ƒ est dérivable sur $\R^*$ et, pour tout $x\in\R^*,~f'(x)=\dots$

$f'\left(\frac25\right)=\dots$

Solution

Pour tout $x\in\R^*,~f'(x)=-1x^{-2}=\frac{-1}{x^2}$

$f'\left(\frac25\right)=\frac{-1}{\frac{2^2}{5^2}}=\frac{-25}4$

$f:x\mapsto x^{27}$

ƒ est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x\in\R,~f'(x)=\dots$

$f'\left(-\frac32\right)=\dots$

Solution

Pour tout $x\in\R,~f'(x)=27x^{26}= 27(x^2)^{13}$

$f'\left(-\frac32\right)=27\left[\left(-\frac32\right)^2\right]^{13} =27\frac{9^{13}}{4^{13}}$

$f:x\mapsto x^{-2}$

ƒ est dérivable sur $\R^*$ et, pour tout $x\in\R^*,~f'(x)=\dots$

$f'(-2)=\dots$

Solution

Pour tout $x\in\R^*,~f'(x)=-2x^{-3}=\frac{-2}{x^3}$

$f'(-2)=\frac{-2}{(-2)^3}=\frac14$

[modifier] Dérivée d'un produit

Théorème

La dérivée d'une fonction produit $f= u\times v$ est : $f' = u '\times v +u\times v '$

[modifier] Exemples

$f:x\mapsto(5x^2+3).(2x+3)$

ƒ est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x\in\R$ :

$\begin{cases}u(x)=\ldots\\v(x)=\ldots\\u'(x)=\ldots\\v'(x)=\ldots\\f'(x)=\ldots\\f'(3)=\ldots\end{cases}$

Solution

Pour tout $x\in\R$

$\begin{cases}u(x)=5x^2+3\\v(x)=2x+3\\u'(x)=10x\\v'(x)=2\\\begin{align} f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\&=10x(2x+3)+2(5x^2+3)\\&=20x^2+30x+10x^2+6\\&=6(5x^2+5x+1)\end{align}\\f'(3)=366\end{cases}$

$f:x\mapsto \left(-\frac52x+3\right).(2x^3-5)$

ƒ est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x\in\R$ :

$\begin{cases}u(x)=\ldots\\v(x)=\ldots\\u'(x)=\ldots\\v'(x)=\ldots\\f'(x)=\ldots\\f'(3)=\ldots\end{cases}$

Solution

Pour tout $x\in\R$

$\begin{cases}u(x)=-\frac52x+3\\v(x)=2x^3-5\\u'(x)=-\frac52\\v'(x)=6x^2\\ \begin{align}f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\&=-\frac52(2x^3-5)+6x^2\left(-\frac52x+3\right)\\ &=-5x^3+\frac{25}2-15x^3+18x^2\\&=-20x^3+18x^2+\frac{25}2\end{align}\\ f'(3)=-\frac{731}2\end{cases}$

[modifier] Avec des racines carrées

Théorème

Rappel : La dérivée de $x\mapsto \sqrt{x}$ est $x\mapsto \frac1{2\sqrt x}$

La fonction racine carrée est dérivable sur $]0;+\infty[$ , ouvert en 0.

$f:x\mapsto x\sqrt{x}$

ƒ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et, pour tout $x\in]0;+\infty[$

$\begin{cases}u(x)=\ldots\\v(x)=\ldots\\u'(x)=\ldots\\v'(x)=\ldots\\f'(x)=\ldots\\f'(3)=\ldots\end{cases}$

Solution

Pour tout $x\in]0;+\infty[$

$\begin{cases}u(x)=x\\v(x)=\sqrt x\\u'(x)=1\\v'(x)=\frac1{2\sqrt x}\\ \begin{align}f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\\&=\sqrt x+\frac x{2\sqrt x}\\&=\sqrt x+\frac{\sqrt x}2=\frac32\sqrt x\end{align}\\f'(3)=\frac32\sqrt3\end{cases}$

Fonction dérivée

Extremum local

Dérivée de la puissance énième d'une fonction

Fonction dérivée/Dérivée d'un produit

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Sommaire

[modifier] Dérivée d'une fonction puissance

[modifier] Exemples

[modifier] Dérivée d'un produit

[modifier] Exemples

[modifier] Avec des racines carrées

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