Fonction dérivée/Dérivée d'un quotient

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**Dérivée d'un quotient**
Leçon : Fonction dérivée

Chapitre 8
Chap. préc. :	Dérivée de la puissance énième d'une fonction
Chap. suiv. :	Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction

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Fonction dérivée/Dérivée d'un quotient », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

1 Dérivée d'un inverse
- 1.1 Exemple 1
- 1.2 Exemple 2
2 Dérivée d'un quotient
- 2.1 Exemple 1
- 2.2 Exemple 2

[modifier] Dérivée d'un inverse

Théorème

Soit u une fonction dérivable et ne s'annulant pas sur un domaine I.

La dérivée de la fonction $f = \frac{1}{u}$ est définie sur I par l'expression $f ' = -\frac{u'}{u^2}$

Voir les exercices sur : Dériver des fractions rationnelles.

Dérivée de la fonction inverse

La dérivée sur $\R\backslash\{0\}$ de la fonction inverse $f:x\mapsto \frac{1}{x}$ est $f'(x)\mapsto -\frac{1}{x^2}$

[modifier] Exemple 1

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto\frac{1}{x^2+1}$ , définie sur $\R$

Pour tout $x\in \R$ :

$u(x)=\cdots$

$u'(x)=\cdots$

$f'(x)=\cdots$

$f'(-1)=\cdots$

Solution

Pour tout $x\in\R,~u(x) = x^2+1$

u est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x\in \R$ :

$u'(x) = 2x ,\$

u ne s'annule pas sur $\R$ donc, d'après le théorème, ƒ est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x\in \R$ :

$f'(x)=-\frac{u'(x)}{u(x)^2} = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$

$f'(-1) = -\frac{-1}{((-1)^2+1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

[modifier] Exemple 2

On souhaite dériver la fonction $f(x) =\frac{1}{\sqrt{x}+3}$ , définie sur $[0;+\infty[$

Pour tout $x\in \cdots$ :

$u(x)=\cdots$

$u'(x)=\cdots$

$f'(x)=\cdots$

$f'\left(\frac12\right)=\cdots$

Solution

Pour tout $x\in [0;+\infty[,~u(x) = \sqrt{x}+3$

u est dérivable sur $\color{red}]\color{black}0;+\infty[$ et, pour tout $x\in \color{red}]\color{black}0;+\infty[$ :

$u'(x)=\frac1{2\sqrt x}$

u ne s'annule pas sur $]0;+\infty[$ donc, d'après le théorème, ƒ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et, pour tout $x\in ]0;+\infty[$ :

$f'(x)=-\frac{u'(x)}{u(x)^2}=-\frac1{2\sqrt x(\sqrt{x}+3)^2}$

$f'\left(\frac12\right)=-\frac1{2\sqrt{\frac12}(\sqrt{\frac12}+3)^2}=\frac{12-19\sqrt2}{289}$

[modifier] Dérivée d'un quotient

Théorème

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un domaine D.

La dérivée de la fonction $f = \frac{u}{v}$ est définie sur D privé des points où v s'annule par l'expression $f '= \frac{u' v-u v'}{v^2}$

Démonstration

On peut montrer facilement cette formule à partir de la précédente :

$\begin{align} f'&=\left(\frac uv\right)'\\ &=\left(u\times \frac1v\right)'\\ &=u'\cdot\frac1v+u\left(\frac1v\right)'\\ &=\frac{u'}v-u\cdot\frac1{v^2}\\ &=\frac{u'v-uv'}{v^2}\\ \end{align}$

[modifier] Exemple 1

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto\frac{5x^2+3}{2x+3}$ définie sur $I=\R\backslash\left\{-\frac32\right\}$

Pour tout $x\in I$ :

$u(x)=\cdots$

$v(x) =\cdots$

$u'(x) =\cdots$

$v'(x) =\cdots$

$f'(x) =\cdots$

$f'(3) =\cdots$

Solution

Pour tout $x\in I,~u(x) = 5x^2+3\,$ et $v(x) = 2x+3\,$

u et v sont dérivables sur I, donc pour tout $x\in I$ :

$u'(x) = 10x\,$

$v'(x) = 2\,$

v ne s'annule pas sur I donc, d'après le théorème, ƒ est dérivable sur I et, pour tout $x\in I$ :

$\begin{align} f ' (x) &= \frac{u ' (x)v(x) - u(x)v ' (x)}{v(x)^2}\\ &= \frac{10x(2x+3) - 2(5x^2+3)}{(2x+3)^2}\\ &= \frac{20x^2 + 30x - 10x^2 - 6}{(2x+3)^2}\\ &= \frac{10x^2 + 30x - 6}{(2x+3)^2} \end{align}$

$\begin{align} f ' (3) &= \frac{10\times 3^2 + 30\times 3 - 6}{(2 \times 3+3)^2}\\ &= \frac{90 + 90 - 6}{9^2}\\ &= \frac{174}{81}\\ &= \frac{58}{27} \end{align}$

[modifier] Exemple 2

On souhaite dériver la fonction $f:x\mapsto\frac{-5x+3}{2x^3-5}$ , définie sur $I=\R\backslash\left\{\sqrt[3]{\frac52}\right\}$

Pour tout $x\in I$ :

$u(x)=\cdots$

$v(x) =\cdots$

$u'(x) =\cdots$

$v'(x) =\cdots$

$f'(x) =\cdots$

$f'(3) =\cdots$

Solution

Pour tout $x\in I,~u (x) = -5x + 3$ et $v(x)=2x^3-5\,$

u et v sont dérivables sur I, donc pour tout $x\in I$ :

$u ' (x) = -5 ,\$

$v ' (x) = 6x^2 ,\$

v ne s'annule pas sur I donc, d'après le théorème, ƒ est dérivable sur I et, pour tout $x\in I$ :

$\begin{align} f'(x) &= \frac{u ' (x)v(x) - u(x)v ' (x)}{v(x)^2}\\ &=\frac{-5(2x^3-5) - (-5x + 3)\cdot(6x^2)} {(2x^3-5)^2}\\ &= \frac{-10x^3 + 25 + 30x^3 -18x^2}{(2x^3-5)^2}\\ &= \frac{20x^3 - 18x^2 + 25}{(2x^3-5)^2} \end{align}$

$\begin{align} f ' (3) &= \frac{20\times 3^3 - 18\times 3^2 + 25}{(2\times 3^3 - 5)^2}\\ &= \frac{540 - 162 + 25}{(54 - 5)^2}\\ &= \frac{403}{2401} \end{align}$

Fonction dérivée

Dérivée de la puissance énième d'une fonction

Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction

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[modifier] Exemple 1

[modifier] Exemple 2

[modifier] Dérivée d'un quotient

[modifier] Exemple 1

[modifier] Exemple 2

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