Approfondissement sur les suites numériques/Définitions avancées

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Définitions avancées
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Chapitre 1
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
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Chap. suiv. : Convergence


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Approfondissement sur les suites numériques/Définitions avancées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Une suite est une application de de \mathbb{N} dans \mathbb{R}.

On la note :
u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}

n \mapsto u(n)=u_n

ou encore (u_n)_{n \in \mathbb{R}} ou simplement (u_n)\,, et on dit que (u_n)\, est la suite numérique de terme général u_n\,.

Sommaire

[modifier] Définition d'une suite

Généralement, une suite (u_n)\, peut être définie :

  • Explicitement
Ex : u_n=\frac{3n}{n+1}\,
  • Par récurrence
Ex : u_n=1\, et u_{n+1}=\sqrt{u_n}+2\,
  • Implicitement
Ex : \alpha_n\, est l'unique solution sur \left]0;+\infty\right[\, de x^n \ln x=2\,

On peut aussi la citer extensivement sous la forme :
\{ u_0,u_1,u_2,\cdots ,u_n, \cdots \} \subset \mathbb{R}

[modifier] Monotonie d'une suite

[modifier] Suite monotone

Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.

[modifier] Suite croissante

Définition

Une suite (un) est croissante à partir d'un rang N\, si et seulement si :

\exists N \in \mathbb N\,/\,\forall n\geq N, u_{n+1}\geq u_n\,


Exemple

u_n = n^2\,

[modifier] Suite décroissante

Définition

Une suite (un) est décroissante à partir d'un rang N\, si et seulement si :

\exists N \in \mathbb N\,/\,\forall n\geq N, \ u_{n+1}\leq u_n


Exemple

u_n = \frac 1 n\,

[modifier] Application

Pour savoir si une suite est monotone il est souvent astucieux :

  • d'étudier le signe de u_{n+1}-u_n\,
  • d'étudier le signe de \frac{u_{n+1}}{u_n} - 1
  • si la suite est de la forme u_n=f(n)\,, d'étudier la monotonie de f à partir du signe de sa dérivée.

[modifier] Suite constante

Soit (u_n)\, une suite numérique de terme général u_n\,.
On dit que (u_n)\, est une suite constante si et seulement si :

\forall n \in \mathbb{R}, u_n=a

Remarque :
On peut aussi définir une suite constante comme une suite à la fois croissante et décroissante.

[modifier] Suite stationnaire

Soit (u_n)\, une suite numérique de terme général u_n\,.
On dit que (u_n)\, est une suite stationnaire à partir d'un rang N\, si et seulement si :

\exists N \in\mathbb{N}\,\mathrm{et}\,\exists a \in\mathbb{R}\,/\,\forall n>N ; u_n=a

[modifier] Suite bornée

[modifier] Suite minorée

Une suite un est minorée s'il existe au moins un réel inférieur à tous les termes de la suite, autrement dit si:

\exists A\in\mathbb R tel que \forall n\in\mathbb N \ u_n>A

[modifier] Suite majorée

Une suite un est majorée s'il existe au moins un réel superieur à tous les termes de la suite, autrement dit si:

\exists A\in\mathbb R tel que \forall n\in\mathbb N \ u_n<A

[modifier] Suite bornée

Une suite un est bornée si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe au moins un réel A tel que:

|u_n|<A\,

[modifier] Suite extraite

On dit que (vp) est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite (un)
si et seulement si :
\exists\ \phi :\N \to \N strictement croissante telle que \forall p\in\mathbb N, v_p=u_{\phi(p)}

[modifier] Suite de Cauchy

Une suite de Cauchy est définie par :

{ \forall \left( n,m \right) \in \mathbb{N}^2, \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \left( n,m \right) > N, \left\| a_n - a_m \right\| < \epsilon }

Autrement dit \forall \left( n,k \right) \in \mathbb{N}^2, \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n+k} = \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}

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