Fonctions d'une variable réelle/Définitions

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Définitions

Chapitre no1
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
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Dans ce chapitre, soient :

• I un ensemble non vide inclus dans $\R$
• ƒ une fonction de I dans $\R$ : on dit que ƒ est à valeurs dans $\R$.

Bornes d'une fonction

Majorants, minorants

Début d'une définition

Définition

La fonction ƒ est dite :

• minorée ssi $\exists m\in\R,~\forall x\in I,~m\leq f(x)$
• majorée ssi $\exists M\in\R,~\forall x\in I,~f(x)\leq M$

On dit que :

• m est un minorant de ƒ.
• M est un majorant de ƒ.

Fin de la définition

Début d'une définition

Définition

La fonction ƒ est dite bornée ssi elle est majorée et minorée.

On peut également écrire cette propriété sous la forme $\exists M\in\R,~\forall x\in I,~|f(x)|\leq M$.

Fin de la définition

Début de l'exemple

Exemple

La fonction cosinus définie sur $\R$ vérifie :

• $\forall x\in\R,\cos(x)\leq 2$ (par exemple), donc cos est majorée et 2 est un majorant de cos.
• $\forall x\in\R,\cos(x)\geq -2$ (par exemple), donc cos est minorée et -2 est un minorant de cos.
• On en déduit que la fonction cosinus est bornée.

Fin de l'exemple

Extremums globaux

Début d'une définition

Maximum global, minimum global

• On dit que ƒ admet un maximum global en $x_0\in I$ ssi $\forall x\in I,~f(x)\leq f(x_0)$.
  • Ce maximum est noté $\max_{x\in I}f(x)$ ou $\max_{I}f\,$.
• On dit que ƒ admet un minimum global en $x_0\in I$ ssi $\forall x\in I,~f(x_0)\leq f(x)$.
  • Ce minimum est noté $\min_{x\in I}f(x)$ ou $\min_{I}f\,$.

Fin de la définition

Il ne faut pas mélanger les deux notations $\min_{i\in I}f(x)$ et $\min_{I}f\,$ pour des raisons de quantification. En effet, la notation $\min_{x\in I}f(x)$ quantifie le x localement grâce à l'indice du min, alors que la deuxième notation s'abstrait totalement du x. Il faut veiller à ne pas écrire $\min_{I}f(x)\,$ ni $\min_{x\in I}f$.

Extremums locaux

Début d'une définition

Maximum local, minimum local

• On dit que ƒ admet un maximum local en $x_0\in I$ ssi $\exists \eta>0,~\forall x\in ]x_0-\eta;x_0+\eta[,~f(x)\leq f(x_0)$.

• On dit que ƒ admet un minimum local en $x_0\in I$ ssi $\exists \eta>0,~\forall x\in ]x_0-\eta;x_0+\eta[,~f(x_0)\leq f(x)$.

Autrement dit, un extremum local est un point au voisinage duquel la fonction prend des valeurs plus grandes (minimum local) ou plus petites (maximum local), mais que cette propriété peut être contredite en des points plus éloignés.

Fin de la définition

Début de l'exemple

Exemple

Fin de l'exemple

Borne supérieure, borne inférieure

Cette section nécessite des connaissances sur les bornes inférieure et supérieure d'un ensemble de réels, Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

Début d'une définition

Définition

• On suppose que f est majorée. Si elle existe, la borne supérieure de ƒ(E) est appelée borne supérieure de f. Elle est notée $\sup_{x\in I}f(x)$ ou $\sup_If\,$
• On suppose que f est minorée. Si elle existe, la borne inférieure de ƒ(E) est appelée borne inférieure de f. Elle est notée $\inf_{x\in I}f(x)$ ou $\inf_If\,$.

Fin de la définition

On peut faire la même remarque concernant notation et quantification que pour les maximums ou minimums de fonction.

Espaces de fonctions

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