Introduction aux suites numériques/Suites géométriques

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Suites géométriques
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Chapitre 3
Leçon : Introduction aux suites numériques
Chap. préc. : Suites arithmétiques
Chap. suiv. : Comportement asymptotique


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Introduction aux suites numériques/Suites géométriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Sommaire

[modifier] Définition par récurrence

Définition

Une suite est géométrique quand on multiplie toujours par le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Une suite géométrique est donc définie par :

  • la donnée de son premier terme u0
  • une relation de récurrence de la forme :
    u_{n+1} = q\times u_n\,

Le facteur q qui permet de passer d'un terme au suivant s'appelle la raison de la suite (un).

[modifier] Être ou ne pas être une suite géométrique

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont géométriques ? Dans ce cas, donner leur raison.

  • u_0 = 1,u_1 = 2, u_2 = 4, u_3 = 8, u_4 = 16, u_5 = 32, u_6 = 64, ...\,
  • 3, 9, 27, 81, ...
  • 1, -5, 25, -125, 625, ...
  • 10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; ...
  • 2, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...
Solution
  • La première suite est de raison 2
  • La deuxième suite est de raison 3
  • La troisième suite est de raison -5
  • La quatrième suite est de raison 0.5
  • La dernière n'est pas une suite géométrique

[modifier] Terme général d'une suite géométrique

Pour arriver à un, il faut multiplier n fois par la raison q le premier terme u0

Théorème

Le terme général d'une suite géométrique (u_n)\, est donné par la formule :

u_n = q^n \times u_0\,

[modifier] Utilisation du terme général

  • Soit (un) une suite géométrique telle que u0 = 3 et q = 1,5. Calculer u11
  • Soit (un) une suite géométrique telle que u0 = 0,5 et q = -2. Calculer u25
  • Soit (un) une suite géométrique telle que u1 = 8 et q = 0,25. Calculer u10
  • Soit (un) une suite géométrique telle que u15 = 320 et q = 3. Calculer u0
  • Soit (un) une suite géométrique telle que u11 = 25 et u14 = 200. Calculer u0 et q.
Solution

1. (un) = u0 x q^n car c'est une suite géométrique

  ssi u11 = 3 x 1,5^(11)
  ssi u11 = 259,5

2. u25 = -16777216

[modifier] Sens de variation


Théorème

Une suite géométrique de premier terme positif et de raison q est :

  • croissante si q > 1
  • décroissante si 0 < q < 1 (ou si | q | < 1)
  • constante si q = 1.

[modifier] Somme des termes d'une suite géométrique

Théorème

La somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule :

u_0 + u_{1} + \cdots + u_n =u_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}

[modifier] Calculs de sommes

En utilisant la formule,

1. Soit (un) une suite géométrique telle que u0 = 3 et q = 2. Calculer S = u_0 + u_{1} + \cdots + u_{20}

2. Calculer S = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + \cdots + 59049

Solution

1. S = 3 \times \frac{1-2^{20+1}}{1-2} = 6291453

2. On remarque que le quotient est 3, que u0 = 1 et que u10 = 59049. Ainsi, S = 1 \times \frac{1-3^{10+1}}{1-3} = 88573

[modifier] Exercice

Nuvola apps edu mathematics-p.svg Voir les exercices sur : Suites géométriques.
Nuvola apps edu mathematics-p.svg Voir les exercices sur : La spirale infernale.


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