Approfondissement sur les suites numériques/Convergence

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**Convergence**
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques

Chapitre 2
Chap. préc. :	Définitions avancées
Chap. suiv. :	Suites extraites

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Approfondissement sur les suites numériques/Convergence », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

On ne traitera ici que de définitions et de conséquences immédiates de la convergence. Pour les théorèmes ou pour les opérations sur les limites, se référer plutôt à ce chapitre.

[modifier] Limites finies

Définition

Les limites de suites ont toujours lieu quand $n$ tend vers $+\infty$
Soit $L$ un réel. La suite $(u n)$ a pour limite $L$ si $(u n)$ est aussi proche de $L$ que l'on veut à partir d'un certain rang.
On dit qu'une suite possédant une limite finie $L$ est convergente.
Si $(u n)$ converge vers $L$ on écrit $\lim_{n \to +\infty}u_n=L$
$\lim_{n \to +\infty}u_n=+\infty$ si $u n$ est aussi grand que l'on veut à partir d'un certain rang.
$\lim_{n \to +\infty}u_n=-\infty$ si $u n$ est aussi petit que l'on veut à partir d'un certain rang.
Une suite qui tend vers $-\infty$ ou $+\infty$ ou qui n'a pas de limite est dite divergente.

Définition

Une suite possédant une limite finie est convergente

On dit que la suite $(u_n)\,$ converge vers une limite $\ell\,$ si quel que soit $\epsilon>0\,$ tous les termes de la suite $(u_n)\,$ appartiennent à un intervalle $[\ell-\epsilon;\ell+\epsilon]\,$ sauf un nombre fini de termes ou autrement dit:

$\forall\epsilon>0 \ \exists N(\epsilon) \in \mathbb N\,/\,\forall n>N(\epsilon) \Rightarrow |u_n-\ell|< \epsilon\,$

dans ce cas on note $\lim_{n \to \infty}u_n=\ell$ ou, par abus, $\lim u_n=\ell$ , voire $u_n \rightarrow \ell\,$

[modifier] Unicité de la limite

Théorème

Une suite convergente a une unique limite $\ell\,$ .

Démonstration

Soit une suite $(u_n)\,$ convergente, supposons que la suite $(u_n)\,$ possède deux limites distinctes $\ell\,$ et $\ell'\,$

d'après la définition de la limite on peut affirmer que:

$\forall\epsilon>0 \ \exists N \in \mathbb N\,/\,\forall n>N \Rightarrow |u_n-\ell|< \epsilon\,$

et

$\forall\epsilon>0 \ \exists N' \in \mathbb N\,/\,\forall n>N' \Rightarrow |u_n-\ell'|< \epsilon$

donc $n > max(N, N')$ on a

$|u_n-\ell|< \epsilon : (1)\,$

$|u_n-\ell'|< \epsilon : (2)\,$

en additionnant $(1)\,$ et $(2)\,$ on a

$|u_n-\ell'|+|u_n-\ell|< 2\epsilon : (3)\,$

d'après l'inégalité triangulaire

$|\ell-\ell'|=|\ell-u_n - \ell'+ u_n| < |\ell - u_n|+|-\ell' + u_n| = |u_n - \ell'|+|u_n - \ell| : (4)\,$

en intégrant $(4)\,$ à $(3)\,$ on obtient

$|\ell-\ell'|<2\epsilon : (5)\,$

puisque cette inégalité est vraie pour tout $\epsilon>0\,$ et que l'on a posé au départ $\ell \ne \ell'\,$ on peut poser $\epsilon = 1/4|\ell-\ell'|\,$ en l'intégrant à $(5)\,$ on obtient

$|\ell-\ell'|<2 \times \frac{1}{4} |\ell-\ell'|\,$

donc $1<\frac{1}{2}\,$

Ce qui est absurde, donc on vient de démontrer par l'absurde que $\ell = \ell'\,$ , et donc qu’il existe une et une seule limite à une suite convergente.

[modifier] Théorème de la limite monotone

Théorème

Une suite majorée et croissante est convergente.
Une suite minorée et décroissante est convergente.

[modifier] Théorème des suites convergentes

Théorème

Toute suite convergente est bornée.

Démonstration

Soit $(u_n)\,$ convergeant vers $\ell\,$ et soit $\epsilon = 1\,$ (peu importe la valeur de $\epsilon\,$ pour que la démonstration marche).

$\exists n_0 \in \mathbb N \,/\, n \ge n_0 \Rightarrow \left|u_n-\ell \right|<1\,$

$\Rightarrow \left|u_n\right| \le 1+\left|\ell\right|\,$

On a donc bien prouvé que $(u_n)\,$ était bornée mais cela qu'à partir du rang $n_0\,$ .
Manquent les $n_0-1\,$ termes précédents. Mais $E=\left\{\left|u_0 \right| ; \left|u_1\right| ; ... ; \left|u_{n_0-1}\right| \right\}\,$ est un ensemble fini.