Application linéaire/Propriétés générales

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**Propriétés générales**
Leçon : Application linéaire

Chapitre 2
Chap. préc. :	Définitions
Chap. suiv. :	Projecteurs, symétries

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Application linéaire/Propriétés générales », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Soient E, F et G trois $\scriptstyle\mathbb K$ -espaces vectoriels.

[modifier] Injectivité, surjectivité

Théorème

Soit $u\in\mathcal L(E,F)$ .

u est injective ssi Ker(u)={0}

Démonstration

On suppose u injective. Soit .
- u(0)=0
- $x \in \mathrm{Ker}(u)$ donc u(x)=0
- u est injective donc u(x)=u(0) implique x=0. Donc $\mathrm{Ker}(u)\subset\{0\}$
- L'inclusion inverse est évidente, donc Ker(u)={0}

On suppose Ker(u)={0}. Soit tel que u(x)=u(y).
- u(x)-u(y)=0
- Par linéarité de u : u(x-y)=0
- On en déduit $x-y\in \mathrm{Ker}(u)$ , donc x-y=0
- Donc x=y, ce qui traduit l'injectivité de u.

Théorème

Soit $u\in\mathcal L(E,F)$ .

u est surjective ssi Im(u)=F.

[modifier] Propriétés de L(E,F)

[modifier] Structure d'algèbre

Théorème

$\mathcal L(E,F)$ est un $\mathbb K$ -espace vectoriel.

Démonstration

Montrons que $\mathcal L(E,F)$ est un sous-espace vectoriel de F^E.

$\mathcal L(E,F)\subset F^E$
L'application nulle appartient à $\mathcal L(E,F)$
Soit $(\lambda,u,v)\in\mathbb K\times \mathcal L(E,F)^2$

$\begin{align}\forall (\mu,x,y)\in \mathbb K\times E^2,~(\lambda u+v)(\mu x+y)&=\lambda u(\mu x+y)+v(\mu x+y)\\ &=\lambda\mu u(x)+\lambda u(y)+\mu v(x)+v(y)\\ &=\mu(\lambda u(x)+v(x))+\lambda u(y)+v(y)\\ &=\mu(\lambda u+v)(x)+(\lambda u+v)(y)\end{align}$

Donc $\lambda u+v\in\mathcal L(E,F)$ .

Finalement, $\mathcal L(E,F)$ est un sous-espace vectoriel de F^E, donc est un $\mathbb K$ -espace vectoriel.

Théorème

Soit $u\in\mathcal L(E,F),~v\in\mathcal L(F,G)$ . Alors $v\circ u\in\mathcal L(E,G)$

Démonstration

Soit $(\lambda,x,y)\in\mathbb K\times E^2$ .

$\begin{align}(v\circ u)(\lambda x+y)&=v(u(\lambda x+y))\\ &=v(\lambda u(x)+u(y))\textrm{~car~}u\in\mathcal L(E,F)\\ &=\lambda v(u(x))+v(u(y))\textrm{~car~}v\in\mathcal L(F,G)\\ &=\lambda (v\circ u)(x)+(v\circ u)(y) \end{align}$

Donc $v\circ u\in\mathcal L(E,G)$ .

Théorème

$(\mathcal L(E),+,\circ)$ est un anneau.

Démonstration

Il suffit de montrer que $(\mathcal L(E),+,\circ)$ est un sous-anneau de $(E^E,+,\circ)$ :

$0\in\mathcal L(E)$
$\mathrm{Id}_E\,$ , neutre pour la loi $\circ$ , est dans $\mathcal L(E)$
$\mathcal L(E)\subset E^E$
$\forall(u,v)\in\mathcal L(E)^2,~u+v\in\mathcal L(E)$
$\forall u\in\mathcal L(E),~-u\in\mathcal L(E)$
$\forall(u,v)\in\mathcal L(E),~u\circ v\in\mathcal L(E)$

On a bien $(\mathcal L(E),+,\circ)$ sous-anneau de E^E, donc c'est un anneau.

Théorème

$(\mathcal L(E),+,\cdot,\circ)$ est une $\mathbb K$ -algèbre.

[modifier] Linéarité des inverses

Théorème

Soit w un isomorphisme de E vers F. Alors $w^{-1}\in\mathcal L(F,E)$

Démonstration

Soit $(\lambda,x,y)\in\mathbb K\times F^2$

$\exists!u\in E,~w(u)=x$
$\exists!v\in E,~w(v)=y$
$\lambda x+y=\lambda w(u)+w(v)=w(\lambda u+v)\,$ , la dernière égalité étant assurée par la linéarité de w
Donc $w^{-1}(\lambda x+y)=\lambda u+v=\lambda w^{-1}(x)+w^{-1}(y)\,$ donc w⁻¹ est linéaire.