Application linéaire/Définitions

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**Définitions**
Leçon : Application linéaire

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Propriétés générales

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Application linéaire/Définitions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Soient E et F deux $\scriptstyle\mathbb K$ -espaces vectoriels.

Sommaire

1 Définitions
- 1.1 Application linéaire
- 1.2 Applications linéaires particulières
2 Image, noyau
- 2.1 Définitions
- 2.2 Propriétés

[modifier] Définitions

[modifier] Application linéaire

Définition

Soit u une application de E dans F. u est dite linéaire ssi

$\forall \lambda \in \mathbb K,\forall x\in E,~u(\lambda x)=\lambda u(x)$
$\forall (x,y)\in E^2,~u(x+y)=u(x)+u(y)$

Remarque

Cette définition est équivalente à u est linéaire ssi $\forall \lambda \in \mathbb K,\forall (x,y) \in E^2,~u(\lambda x+y)=\lambda u(x)+u(y)$ .

Valeur en un point d'une fonction réelle

On suppose dans cet exemple $\mathbb K=\R$ et $E=\R^\R$ .

On considère l'application

$\begin{array}{ccccc} u&:&E&\rightarrow&\R\\ ~&~&f&\mapsto&f(0) \end{array}$

u est une application linéaire. En effet :

$\begin{align}\forall(\lambda,f,g)\in\R\times E^2,~u(\lambda f+g)&=(\lambda f+g)(0)\\&=\lambda f(0)+g(0)\\&=\lambda u(f)+u(g)\end{align}$ .

Définition

L'ensemble des applications linéaires de E dans F est noté $\mathcal L(E,F)\,$ .

[modifier] Applications linéaires particulières

Définition

On appelle endomorphisme de E toute application linéaire de E dans E
On appelle isomorphisme de E vers F toute application linéaire bijective de E dans F

Définition

On appelle automorphisme de E tout endomorphisme bijectif de E.

L'ensemble des automorphismes de E s'appelle groupe linéaire sur E et est noté $\mathcal{GL}(E)$ .

Homothétie de l'espace

On suppose dans cet exemple $\mathbb K=\R$ et $E=\R^3$ .

Soit $k\in\R$ . On considère l'application

$\begin{array}{ccccc} h&:&E&\rightarrow&E\\ ~&~&x&\mapsto&kx \end{array}$

On a :

$\begin{align}\forall(\lambda,x,y)\in\R\times E^2,~h(\lambda x+y)&=k(\lambda x+y)=k\lambda x+ky\\&=\lambda (kx)+(ky)\\&=\lambda h(x)+h(y)\end{align}$ .

h est une application linéaire de E dans E : c'est donc un endomorphisme de E.

Si de plus $k\not=0$ , h est bijective. h est alors un automorphisme de E, appelé homothétie de rapport k.

Définition

On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans $\mathbb K$ .

L'ensemble des formes linéaires sur E est noté $E^*\,$ et porte le nom de dual de E.

( Voir le cours sur la dualité pour une étude plus détaillée.)

Produit scalaire par un vecteur

On suppose dans cet exemple $\mathbb K=\R$ et $E=\R^3$ .

Soit $e\in E$ .

On considère l'application

$\begin{array}{ccccc} p&:&E&\rightarrow&\R\\ ~&~&x&\mapsto&\langle x,e \rangle \end{array}$

p est une application linéaire. En effet :

$\begin{align}\forall(\lambda,x,y)\in\R\times E^2,~p(\lambda x+y)&=\langle\lambda x+y,e\rangle\\&=\lambda\langle x,e\rangle+\langle y,e\rangle\\&=\lambda p(x)+p(y)\end{align}$ .

De plus, p est à valeurs dans $\scriptstyle\R$ : p est donc une forme linéaire sur E.

[modifier] Image, noyau

[modifier] Définitions

Définition

Soit $u\in\mathcal L(E,F)$ . On appelle :

image de u l'ensemble $\{u(x)/x\in E\}$ , noté Im(u).
noyau de u l'ensemble $\{x\in E/u(x)=0\}$ , noté Ker(u).

Produit scalaire par un vecteur de base

On suppose dans cet exemple $\mathbb K=\R$ et $E=\R^3$ .

On suppose E muni d'une base orthonormée $(e_1,e_2,e_3)\,$ .

On considère l'application

$\begin{array}{ccccc} p_1&:&E&\rightarrow&\R\\ ~&~&x&\mapsto&\langle x,e_1 \rangle \end{array}$

p₁ est une application linéaire.

Son noyau est exactement l'ensemble de tous les vecteurs orthogonaux à e₁, c'est-à-dire $\mathrm{Ker}(p_1)=\{x\in E/\langle x,e_1 \rangle=0\}=\mathrm{Vect}\{e_2,e_3\}$
Son image est $\mathrm{Im}(p_1)=\R$

[modifier] Propriétés

Propriété

Im(u) est un sous-espace vectoriel de F.
Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E.

Démonstration

Assertion 1 :
- u(0)=0 et $0\in F$ donc $0 \in \mathrm{Im}(u)$
- Soit :
  - $x \in \mathrm{Im}(u)$ donc $\exists a \in E,~u(a)=x$
  - $y \in \mathrm{Im}(u)$ donc $\exists b \in E,~u(b)=y$
  - $u(\lambda a+b)=\lambda u(a)+u(b)\,$ par linéarité de u
  - Donc $\lambda x+y=u(\lambda.a+b)\,$
- Donc $\lambda x+y \in \mathrm{Im}(u)$ .
- Finalement Im(u) est un sous-espace vectoriel de F.
Assertion 2 :
- u(0)=0 donc $0 \in \mathrm{Ker}(u)$
- Soit :
  - $x \in \mathrm{Ker}(u)$ donc u(x)=0.
  - $y \in \mathrm{Ker}(u)$ donc u(y)=0.
  - $u(\lambda x+y)=\lambda u(x)+u(y)\,$ par linéarité de u
  - Donc $u(\lambda x+y)=0\,$
- Donc $\lambda x+y \in \mathrm{Ker}(u)$ .
- Finalement Ker(u) est un sous-espace vectoriel de F.