Corps (mathématiques)/Définitions
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| Chapitre 1 | |||
| Leçon : Corps (mathématiques) | |||
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| Chap. suiv. : | Extension de corps | ||
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Les corps sont des structures importantes en algèbre.
- Un corps (K,+,.) est un anneau commutatif vérifiant :
- L'élément neutre pour l'opération + et l'élément neutre pour l'opération . sont distincts ;
- Tout élément non nul de 'K est inversible.
La première propriété implique que 0 (l'élément neutre de + et absorbant de . ) et 1(l'élément neutre de .) sont distincts.
Remarque : Pour certains auteurs, un corps n'est pas nécessairement un anneau commutatif. Le fait que la loi multiplicative soit commutative est un théorème pour les corps finis (voir chapitre 3).
Remarque : Un morphisme d'anneaux d'un corps dans un anneau est nécessairement injectif. Un morphisme d'anneaux envoie en effet tout élément inversible sur un élément inversible, donc non nul. Par la deuxième propriété, tout élément non nul d'un corps est inversible, donc envoyé sur un élément non nul.
- Un sous-corps d'un corps K est un sous-anneau A contenant les inverses de ses éléments non nuls. Munis des lois + et ., A est ûn corps.
- Le sous-corps engendré par une partie X de K est le plus petit sous-corps de K contenant X.
(Q,+,*) ,(R,+,*) ,(C,+,*) ,(H,+,*)...
[modifier] Caractéristique
Si K est un corps, il existe un unique morphisme d'anneau 
envoyant l'entier 1 sur 1. Le noyau de ce morphisme est un idéal de Z de la forme n.Z. L'entier n est soit nul, soit un nombre premier.
En effet, si n est un entier non nul décomposable, alors on peut écrire ''n'' = ''k''.''l'' où 1<k,l<n. Alors, φ(kl) = 0 = φ(k).φ(l). Donc, soit k soit l est dans le noyau de φ, donc divisible par n. C'est absurde.
- Pour un corps K, l'unique morphisme envoyant 1 sur 1 est :
- Ou bien injectif ; dans ce cas k est dit de caractéristique nulle. L'injection φ se prolonge en un morphisme de corps
. - Ou bien de noyau pZ avec p premier ; dans ce cas, K est dit de caractéristique p. L'application φ induit une injection
.
- Ou bien injectif ; dans ce cas k est dit de caractéristique nulle. L'injection φ se prolonge en un morphisme de corps
