Application multilinéaire/Définitions

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**Définitions**
Leçon : Application multilinéaire

Chapitre 1
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Chap. suiv. :	Formes n-linéaires

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Application multilinéaire/Définitions », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce cours, E est un $\mathbb K$ -espace vectoriel et $n\in\mathbb N^*$ .

[modifier] Définition

Définition

Une application f est dite n-linéaire sur E lorsque :

f est fonction de n vecteurs de E
f est linéaire par rapport à chacune de ses variables, ie $\forall i,\forall y_i\in E,\forall\lambda\in\mathbb K$ $f(x_1,\cdots,\lambda x_i+y_i,\cdots,x_n)=\lambda f(x_1,\cdots,x_i,\cdots,x_n)$ $+f(x_1,\cdots,y_i,\cdots,x_n)$

Bilinéarité

Une application f de E² est bilinéaire ssi

$\forall \lambda\in\mathbb K,\forall(x,y,z)\in E^3,~f(\lambda x+y,z)=\lambda f(x,z)+f(y,z)$
$\forall \lambda\in\mathbb K,\forall(x,y,z)\in E^3,~f(x,\lambda y+z)=f(x,z)+\lambda f(x,y)$

[modifier] Application alternée

Définition

Une forme linéaire ƒ sur E est dite alternée ssi ƒ est appliquée à un n-uplet où deux vecteurs sont égaux s'annule.

Mathématiquement : ƒ est alternée ssi $\left[\exists (i,j),\begin{cases}i\not=j\\x_i=x_j\end{cases}\right]\Rightarrow f(x_1,\cdots,x_i,\cdots,x_n)=0$

[modifier] Application antisymétrique

Définition

Une forme linéaire ƒ sur E est dite antisymétrique ssi, lorsqu'on échange deux vecteurs en paramètre de ƒ, le résultat est identique en valeurs absolue mais change de signe.

Mathématiquement : ƒ est antisymétrique ssi $\forall(i,j),~f(x_1,\cdots,x_i,\cdots,x_j,\cdots,x_n)=-f(x_1,\cdots,x_j,\cdots,x_i,\cdots,x_n)$

Application multilinéaire

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Formes n-linéaires

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[modifier] Application alternée

[modifier] Application antisymétrique

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