Application (mathématiques)/Définitions

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Définitions
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Chapitre 1
Leçon : Application (mathématiques)
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Chap. suiv. : Opérations sur les fonctions


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Dans ce chapitre, nous allons commencer par introduire la notion d'application comme une notion primitive, ensuite nous définirons une application comme une relation. Nous nous intéresserons à des types d'application, à des applications particulières et donnerons leurs propriétés.

Sommaire

[modifier] Applications

[modifier] Définition intuitive d'une application

Définition
  • Une fonction d'un ensemble E dans un ensemble F (ou de E vers F) est une correspondance, qui à tout élément x de E associe au plus un élément y de l'ensemble F.
  • Une application d'un ensemble E dans un ensemble F (ou de E vers F) est une correspondance, qui à tout élément x de E associe un élément et un seul y de l'ensemble F.
  • y est appelé l'image de x par f et se note f(x).
    x est un antécédent de y par f.
  • Si f est une application sur E, E s'appelle l'ensemble de départ ou l'ensemble de définition de f, et F l'ensemble d'arrivée.
  • L'application f de E dans F se note
\begin{matrix}f: & E & \rightarrow & F\\& x & \mapsto & f(x)\end{matrix} ou f: E \rightarrow F ou encore f: x\mapsto f(x)

La partie G formée des couples de E × F de la forme (x, f(x)) où x parcourt l'ensemble E s'appelle le graphe de f. Nous avons donc G=\{(x, y)\in E\times F/y=f(x)\}

Une représentation graphique de f est une représentation du graphe de f.

L'ensemble des applications de E dans F se note habituellement \mathcal A(E, F) ou FE ou \mathcal F(E, F).
Si E=F, l'ensemble des applications de E dans E se note plus simplement \mathcal A(E) ou EE ou \mathcal F(E).

Remarques :

  1. Souvent la notion d'application est confondue avec celle de fonction.
  2. L'image d'un élément x par f est aussi appelée la valeur de f en x.
  3. Pour tout x élément de E, f(x) est un élément de F, et ne représente pas l'application f. Il ne faut en aucun cas confondre l'application f, avec l'image par f d'un élément. Ceux qui considèrent que f(x) est une fonction de la variable x, devraient se poser la question suivante:
pour f=exp, si x prend la valeur 2, f(x) est-elle toujours une fonction ?
  1. Si f est une application de E dans F alors nous avons la propriété
\forall x\in E, \exists ! y\in F, y=f(x)

Définition (égalité des applications):

Deux applications f: E \rightarrow F et g: E' \rightarrow F' sont dites égales si les trois propriétés suivantes sont vérifiées

  1. E=E' (même ensemble de départ)
  2. F=F' (même ensemble d'arrivée)
  3. pour tout x, f(x)=g(x).

[modifier] Application et relation

Définitions :

Un graphe dans E\times F est une partie G de E\times F telle que pour tout x\in E, il existe exactement un élément y\in F tel que (x,y)\in G.

Une application, ou fonction, est un triplet f = (E,F,G), où G est un graphe dans E\times F. Si f = (E,F,G) est une application, si (x,y)\in G, on note f(x) pour y. On dit alors que x est un antécédent de y par f, et que y est l'image de x par f.

[modifier] Exemples d'applications

Définition :

Soit E un ensemble quelconque. L'application identité de E (ou application identique de E) est l'application de E dans E, notée \operatorname{Id}_E, définie par

\forall x\in E, \operatorname{Id}_E(x)=x.

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques. Une application f de E dans F est dite constante, s'il existe un élément a de F, tel que pour tout x de E, on ait f(x)=a, c'est-à-dire si

\exists a\in F, \forall x\in E, f(x)=a.

Exemples :

  • \begin{matrix}\mathbb{R} & \rightarrow &\mathbb{R}\\x & \mapsto & x^2-x\end{matrix} est une application.
  • \begin{matrix}\mathbb{R}^2 & \rightarrow &\mathbb{R}\\(x, y) & \mapsto & x^2+xy\end{matrix} est une application.

Définition :

Soit A une partie d'un ensemble quelconque E. Nous appelons application caractéristique de A (ou fonction indicatrice de A), l'application de E dans {0, 1} notée χA ou Fichier:UnA.png définie par

\left\{\begin{matrix}\chi_A(x) & = & 1 &\rm{\,si\,}& x & \rm{\,appartient\,\grave{a}\,} & A\\\chi_A(x) & = & 0 & \rm{\,si\,}& x & \rm{\,n}^{\prime}\rm{appartient\,pas\,\grave{a}\,} & A\end{matrix}\right.

[modifier] Prolongements et restrictions

À partir d'une application donnée, nous pouvons créer d'autres applications en remplaçant simplement l'ensemble de départ ou d'arrivée par un sous-ensemble ou un sur-ensemble de cet ensemble.

[modifier] Restriction d'une application

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit E' une partie de E. Nous appelons la restriction de f à E', l'application g de E' dans F qui à tout x de E' associe f(x) i.e. telle que

\forall x\in E', g(x)=f(x)

Cette application g est habituellement notée f | E'.

Exemple :

L'application \exp : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} peut être restreinte à \mathbb{R}^* en l'application \begin{matrix}\mathbb{R}^* & \rightarrow & \mathbb{R}\\x & \mapsto & e^x\end{matrix}.

[modifier] Prolongements d'une application

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit E' un ensemble contenant E. Nous appelons un prolongement de f à E', toute application g de E' dans F dont la restriction à E est égale à f, i.e. telle que

\forall x\in E, g(x)=f(x)

Remarque :

Il existe en général plusieurs prolongements d'une même application.

Exemples :

  1. Les applications \begin{matrix}g_1: & [0, 1] & \rightarrow & \mathbb{R}\\& x & \mapsto & x\end{matrix} et \begin{matrix}g_2: & [0, 1] & \rightarrow & \mathbb{R}\\& x & \mapsto & \left\{\begin{matrix}x & \rm{\,si\,}& x\neq 0\\1 & \rm{\,si\,}& x=0\end{matrix}\right.\end{matrix}
    sont des prolongements à [0, 1] de l'application \begin{matrix}f: & ]0, 1] & \rightarrow & \mathbb{R}\\& x & \mapsto & x\end{matrix}.
  2. sin est un prolongement à \mathbb{R} de l'application \begin{matrix}f: & [0, 2\pi[ & \rightarrow & \mathbb{R}\\& x & \mapsto & \sin x\end{matrix}.

[modifier] Restriction de l'ensemble d'arrivée

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' une partie de F. Il est possible de restreindre l'ensemble d'arrivée de l'application f, pour former une application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x), à condition que tout élément x de E ait une image dans F' (i.e. l'image de f soit incluse dans F').
Dans ce cas l'application g se note f | F'

[modifier] Extension de l'ensemble d'arrivée

Soient E et F deux ensembles quelconques et f une application de E dans F. Soit F' un ensemble contenant F. Nous pouvons toujours considérer l'application g de E dans F' qui à un élément x de E associe f(x).

[modifier] Image directe, image réciproque d'une partie par une application

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f: E\rightarrow F une application.

Soit A une partie de E, nous appelons image directe de A par f l'ensemble des éléments de F de la forme f(x) où x parcourt A, c'est-à-dire l'ensemble des éléments y de F tels qu'il existe un élément x de A tel que y=f(x). Cette image directe se note f(A), et nous avons

f(A)=\{f(x)/x\in A\} ou f(A)=\{y\in F/\exists x\in A, y=f(x)\}.

Dans le cas particulier où A=E, l'ensemble f(E) est l'ensemble des images de tous les éléments de l'ensemble de définition de f, et s'appelle l'ensemble des valeurs de f, ou image de f et se note Im f ou Im(f).

Propriétés immédiates :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f: E\rightarrow F une application.

  • f(\emptyset)=\emptyset (il n'y a pas d'image d'élément de l'ensemble vide puisque l'ensemble vide n'a pas d'élément)
  • Soit x un élément de E. Si A={x}, alors f(A)={f(x)}.

Remarques :

  • L'image directe d'une partie par une application est une partie de l'ensemble d'arrivée et non un élément de cet ensemble.
  • Il ne faut surtout pas confondre l'image directe d'une partie avec l'image d'un élément ou l'image d'une application.

Proposition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f: E\rightarrow F une application.
f est surjective si et seulement si f(E)=F.

Définition :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f: E\rightarrow F une application. Soit B une partie de F, nous appelons image réciproque de la partie B par f, l'ensemble des x de l'ensemble de définition X tels que f(x) appartienne à B, c'est-à-dire l'ensemble de tous les antécédents de tous les éléments de B. Cette image réciproque se note f − 1(B) ou parfois Fichier:Fmoinsun.png(B). Nous avons donc

f^{-1}(B)=\{x\in E/ f(x)\in B\}

Remarques :

  • La notation utilisée pour désigner l'image réciproque d'une partie par une application est trompeuse puisque f⁻¹ peut faire penser à l'application réciproque (qui n'existe que dans le cas où f est bijective). En considérant f − 1(Y), nous devons donc examiner si Y est une partie de l'ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit bien d'une image réciproque, ou si Y est un élément de l'ensemble d'arrivée auquel cas il s'agit de l'image par l'application réciproque f − 1 de l'élément Y de F, ce qui exige que f soit bijective.
  • Si B se réduit à un seul élément b, alors l'ensemble :f − 1({b}) s'écrit parfois f − 1(b), mais nous n'utiliserons jamais cet abus.

Propriétés immédiates :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f: E\rightarrow F une application.

  • f^{-1}(\emptyset)=\emptyset
  • f − 1(F) = E, car f est une application et tous les éléments de E ont une image dans F.
  • Pour tout y de F, f − 1({y}) est l'ensemble de tous les antécédents de y par f.
    Si f est bijective, alors f − 1({y}) = {f − 1(y)}, puisque dans ce cas le seul antécédent de y est f − 1(y).

Propriétés :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f:E\rightarrow F une application quelconque.

  • \forall A\in\mathcal P(E), \forall A'\in\mathcal P(E), A\subset A'\Rightarrow f(A)\subset f(A') (croissance de l'image directe)
  • \forall A\in\mathcal P(E), \forall A'\in\mathcal P(E), f(A\cup A')=f(A)\cup f(A')
  • \forall A\in\mathcal P(E), \forall A'\in\mathcal P(E), f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A')
  • \forall B\in\mathcal P(F), \forall B'\in\mathcal P(F), B\subset B'\Rightarrow f^{-1}(B)\subset f^{-1}(B') (croissance de l'image réciproque)
  • \forall B\in\mathcal P(F), \forall B'\in\mathcal P(F), f^{-1}(B\cup B')=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B')
  • \forall B\in\mathcal P(F), \forall B'\in\mathcal P(F), f^{-1}(B\cap B')=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B')
  • \forall B\in\mathcal P(F), f^{-1}\left(\complement_F B\right)=\complement_E {f^{-1}(B)}
  • \forall A\in\mathcal P(E), A\subset f^{-1}(f(A))
  • \forall B\in\mathcal P(F), f(f^{-1}(B))\subset B
  • \forall A\in\mathcal P(E), \forall B\in\mathcal P(F), A\subset f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(A)\subset B

Propositions :

Soient E et F deux ensembles quelconques et f:E\rightarrow F une application quelconque.

  • f{\rm{\,injective\,}}\Leftrightarrow \forall A\in\mathcal P(E), \forall A'\in\mathcal P(E), f(A\cap A')=f(A)\cap f(A')
  • f{\rm{\,injective\,}}\Leftrightarrow \forall A\in\mathcal P(E), A= f^{-1}(f(A))
  • f{\rm{\,surjective\,}}\forall B\in\mathcal P(F), f(f^{-1}(B)) = B
  • f{\rm{\,bijective\,}}\Leftrightarrow \forall A\in\mathcal P(E), f\left(\complement_E A\right)=\complement_F f(A)


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