Fonctions circulaires/Fonction sinus

**Fonction sinus**
Leçon : Fonctions circulaires

Chapitre n^o2
Chap. préc. :	Fonction cosinus
Chap. suiv. :	Fonction tangente

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Fonctions circulaires/Fonction sinus », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

[modifier] Fonction sinus

Définition

Soit $x$ un nombre réel.

Son sinus est le sinus de l'unique angle dont $x$ est une mesure. Il est noté $\sin(x)\,$ .

La fonction qui à tout nombre réel $x$ associe son sinus est appelée fonction sinus, et est notée sin.

[modifier] Représentation graphique

On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction sinus sur $\left[-\frac{3\pi}2,\frac{3\pi}2\right]$ .

Cette courbe est une sinusoïde.

[modifier] Périodicité

Définition

Une fonction périodique de période $P$ est telle que :

Pour tout $x$ :

$f(x+P)=f(x)\,$

Interprétation graphique : La courbe d'une fonction périodique de période $P$ est invariante par translation de vecteur $(P,0)$ .

Propriété

La fonction sinus est périodique de période $2\pi$ , c'est-à-dire :

Pour tout réel x ,

$\sin(x+2\pi)=\sin(x)\,$

[modifier] Imparité

Définition

Une fonction impaire est telle que pour tout x :

$f(-x)=-f(x)\,$ .

Interprétation graphique : La courbe d'une fonction impaire est invariante par symétrie centrale par rapport à l'origine.

Propriété

La fonction sinus est impaire, c'est-à-dire :

$\sin(-x)=-\sin(x)\,$ .

[modifier] Valeurs remarquables

α	$\scriptstyle 0$	$\textstyle\frac{\pi}6$	$\textstyle\frac{\pi}4$	$\textstyle\frac{\pi}3$	$\textstyle\frac{\pi}2$	$\textstyle\frac{2\pi}3$	$\textstyle\frac{3\pi}4$	$\textstyle\frac{5\pi}6$	$\scriptstyle\pi$
sin α	$\scriptstyle 0$	$\textstyle\frac12$	$\textstyle\frac{\sqrt2}2$	$\textstyle\frac{\sqrt3}2$	$\scriptstyle 1$	$\textstyle\frac{\sqrt3}2$	$\textstyle\frac{\sqrt2}2$	$\textstyle\frac12$	$\scriptstyle 0$
α	$\scriptstyle 0$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}6$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}4$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}3$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\pi}2$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{2\pi}3$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{3\pi}4$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{5\pi}6$	$\scriptstyle -\pi$
sin α	$\scriptstyle 0$	$\scriptstyle -\textstyle\frac12$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt2}2$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt3}2$	$\scriptstyle -1$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt3}2$	$\scriptstyle -\textstyle\frac{\sqrt2}2$	$\scriptstyle -\textstyle\frac12$	$\scriptstyle 0$