Ensemble (mathématiques)/Définitions

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Sommaire 1 Ensembles 1.1 Définitions: ensemble et élément 1.2 Définition/Notation: ensemble vide 1.3 Exemples d'ensembles 1.4 Définition d'un ensemble en extension et en compréhension 1.5 Définition: Égalité de deux ensembles 2 Sous-ensemble, partie d'un ensemble 2.1 Inclusion

[modifier] Ensembles

[modifier] Définitions: ensemble et élément

Un ensemble est une collection ou un groupement d'objets distincts ; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble.
Soit E un ensemble, quand a est un élément de E, nous disons que a est dans E ou que a appartient à E et nous écrivons , ce qui se lit « a appartient à E ». Quand au contraire a n'est pas élément de E, nous disons que a n'appartient pas à E et nous écrivons , ce qui se lit « a n'appartient pas à E ».

[modifier] Définition/Notation: ensemble vide

Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l'ensemble vide ou plus souvent .

Remarque: Retenons qu'une chose est un ensemble, si nous pouvons dire si un objet quelconque est ou n'est pas élément de cette chose; concernant l'ensemble vide nous pouvons dire qu' aucun objet n'est élément de cette chose.

[modifier] Exemples d'ensembles

1. Les entiers naturels 0,1,2,3,... forment un ensemble qui se note .
2. Les entiers relatifs ..., − 3, − 2, − 1,0,1,2,3,... forment un ensemble qui se note .
3. Les nombres rationnels (de la forme où et ) forment un ensemble noté .
4. Les points du plan forment un ensemble.

[modifier] Définition d'un ensemble en extension et en compréhension

Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou en compréhension c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.

La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l'ensemble dont les éléments sont 1 et 2.

• L' ordre des éléments ne revêt aucune importance; par exemple, {1,2} = {2,1}.
• La répétition d' éléments entre les accolades ne modifie pas l'ensemble; par exemple, {1,2,2} = {1,1,1,2} = {1,2}.

Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l'ensemble des entiers naturels se définit par : = {0, 1, 2, 3, …}. Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l'ensemble {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5,…, 21}. Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {entiers pairs} désigne l'ensemble de tous les entiers relatifs multiples de 2. Il est aussi possible de définir un ensemble par une proposition logique P qui dépend de x. L'ensemble est alors constitué de tous les objets x pour lesquels la condition P est vraie. Cet ensemble se note {x / P(x)}. Par exemple, {x/x est un nombre réel} désigne l'ensemble des nombre réels .. Cette notation est appelée « notation de définition d'un ensemble en compréhension ». Quelques variantes de notations de définition d'un ensemble en compréhension sont:

• {x ∈ A / P(x)} désigne l'ensemble des x qui sont déjà éléments de A tels que la condition P soit vérifiée pour ces x. Par exemple, si est l'ensemble des entiers, alors {x ∈ . / x est un entier pair} est l'ensemble de tous les entiers pairs.
• {F(x) / x ∈ A} désigne l'ensemble de tous les objets obtenus en mettant les éléments de l'ensemble A dans la formule F. Par exemple, {2x / x ∈ .} est encore l'ensemble de tous les entiers pairs.
• {F(x) / P(x)} est la forme la plus générale de la définition en compréhension. Par exemple, { propriétaire de x / x est un chien} est l'ensemble de tous les propriétaires de chiens.

[modifier] Définition: Égalité de deux ensembles

Deux ensembles E et F sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments et nous écrivons E = F. Nous avons

[modifier] Sous-ensemble, partie d'un ensemble

[modifier] Inclusion

Définition

Soient E et F deux ensembles quelconques. Nous disons que E est inclus dans F ou que E est un sous-ensemble de F ou encore que E est une partie de F si tout élément de E est un élément de F. Nous écrivons .
Soit:

Exemple : .

Notation

Nous notons , l'ensemble des parties de l'ensemble E.

Propositions

1. .
2. .

Démonstrations:

1. Soient E, F et G trois ensembles.

Supposons et

Soit , on a (car )

De même comme et on a

Donc si alors d'où

2. Soient E et F deux ensembles

Notons . G est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à E et à F (en fait ).

Remarquons que :

De même on a :

On a ainsi montré :

Or, comme d'autre part :

On obtient :