En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Produit matricielMatrice/Exercices/Produit matriciel », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On considère les quatre matrices :
A
=
(
0
1
3
0
8
5
0
6
0
0
1
1
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&3&0\\8&5&0&6\\0&0&1&1\end{pmatrix}}}
B
=
(
0
1
0
0
3
3
9
5
)
{\displaystyle B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\3&3\\9&5\end{pmatrix}}}
C
=
(
0
1
3
8
5
0
0
0
1
)
{\displaystyle C={\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
D
=
(
1
3
5
0
)
{\displaystyle D={\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}}
.
1. Quels sont les produits matriciels réalisables ?
2. Effectuez-les.
Solution
A
B
=
(
0
1
3
0
8
5
0
6
0
0
1
1
)
(
0
1
0
0
3
3
9
5
)
=
(
0
×
0
+
1
×
0
+
3
×
3
+
0
×
9
0
×
1
+
1
×
0
+
3
×
3
+
0
×
5
8
×
0
+
5
×
0
+
0
×
3
+
6
×
9
8
×
1
+
5
×
0
+
0
×
3
+
6
×
5
0
×
0
+
0
×
0
+
1
×
3
+
1
×
9
0
×
1
+
0
×
0
+
1
×
3
+
1
×
5
)
=
(
9
9
54
38
12
8
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}AB&={\begin{pmatrix}0&1&3&0\\8&5&0&6\\0&0&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\3&3\\9&5\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 0+1\times 0+3\times 3+0\times 9&0\times 1+1\times 0+3\times 3+0\times 5\\8\times 0+5\times 0+0\times 3+6\times 9&8\times 1+5\times 0+0\times 3+6\times 5\\0\times 0+0\times 0+1\times 3+1\times 9&0\times 1+0\times 0+1\times 3+1\times 5\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}9&9\\54&38\\12&8\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
B
D
=
(
0
1
0
0
3
3
9
5
)
(
1
3
5
0
)
=
(
0
×
1
+
1
×
5
0
×
3
+
1
×
0
0
×
1
+
0
×
5
0
×
3
+
0
×
0
3
×
1
+
3
×
5
3
×
3
+
3
×
0
9
×
1
+
5
×
5
9
×
3
+
5
×
0
)
=
(
5
0
0
0
18
9
34
27
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}BD&={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\3&3\\9&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 1+1\times 5&0\times 3+1\times 0\\0\times 1+0\times 5&0\times 3+0\times 0\\3\times 1+3\times 5&3\times 3+3\times 0\\9\times 1+5\times 5&9\times 3+5\times 0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}5&0\\0&0\\18&9\\34&27\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
C
A
=
(
0
1
3
8
5
0
0
0
1
)
(
0
1
3
0
8
5
0
6
0
0
1
1
)
=
(
0
×
0
+
8
×
1
+
0
×
3
0
×
1
+
1
×
5
+
3
×
0
0
×
3
+
1
×
0
+
3
×
1
0
×
0
+
1
×
6
+
3
×
1
8
×
0
+
5
×
8
+
0
×
0
8
×
1
+
5
×
5
+
0
×
0
8
×
3
+
5
×
0
+
0
×
1
8
×
0
+
5
×
6
+
0
×
1
0
×
0
+
0
×
8
+
1
×
0
0
×
1
+
0
×
5
+
1
×
0
0
×
3
+
0
×
0
+
1
×
1
0
×
0
+
0
×
6
+
1
×
1
)
=
(
8
5
3
9
40
33
24
30
0
0
1
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}CA&={\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&3&0\\8&5&0&6\\0&0&1&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 0+8\times 1+0\times 3&0\times 1+1\times 5+3\times 0&0\times 3+1\times 0+3\times 1&0\times 0+1\times 6+3\times 1\\8\times 0+5\times 8+0\times 0&8\times 1+5\times 5+0\times 0&8\times 3+5\times 0+0\times 1&8\times 0+5\times 6+0\times 1\\0\times 0+0\times 8+1\times 0&0\times 1+0\times 5+1\times 0&0\times 3+0\times 0+1\times 1&0\times 0+0\times 6+1\times 1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8&5&3&9\\40&33&24&30\\0&0&1&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
C
C
=
(
0
1
3
8
5
0
0
0
1
)
(
0
1
3
8
5
0
0
0
1
)
=
(
0
×
0
+
1
×
8
+
3
×
0
0
×
1
+
1
×
5
+
3
×
0
0
×
3
+
1
×
0
+
3
×
1
8
×
0
+
5
×
8
+
0
×
0
8
×
1
+
5
×
5
+
0
×
0
8
×
3
+
5
×
0
+
0
×
1
0
×
0
+
0
×
8
+
1
×
0
0
×
1
+
0
×
5
+
1
×
0
0
×
3
+
0
×
0
+
1
×
1
)
=
(
8
5
3
40
33
24
0
0
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}CC&={\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&3\\8&5&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\times 0+1\times 8+3\times 0&0\times 1+1\times 5+3\times 0&0\times 3+1\times 0+3\times 1\\8\times 0+5\times 8+0\times 0&8\times 1+5\times 5+0\times 0&8\times 3+5\times 0+0\times 1\\0\times 0+0\times 8+1\times 0&0\times 1+0\times 5+1\times 0&0\times 3+0\times 0+1\times 1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}8&5&3\\40&33&24\\0&0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
D
D
=
(
1
3
5
0
)
(
1
3
5
0
)
=
(
1
×
1
+
3
×
5
1
×
3
+
3
×
0
5
×
1
+
0
×
5
5
×
3
+
0
×
0
)
=
(
16
3
5
15
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}DD&={\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\\5&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1\times 1+3\times 5&1\times 3+3\times 0\\5\times 1+0\times 5&5\times 3+0\times 0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}16&3\\5&15\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
Soit
A
∈
M
n
(
K
)
{\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n}(K)}
une matrice strictement triangulaire supérieure, c'est-à-dire qui n'a que des zéros en dessous de la diagonale et sur la diagonale elle-même . Démontrer que
A
n
=
0
{\displaystyle A^{n}=0}
.
Solution
Soit
(
e
1
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}
la base canonique de
K
n
{\displaystyle K^{n}}
et
E
k
=
Vect
(
e
1
,
…
,
e
k
)
{\displaystyle E_{k}=\operatorname {Vect} \left(e_{1},\dots ,e_{k}\right)}
, pour
k
{\displaystyle k}
de
1
{\displaystyle 1}
à
n
{\displaystyle n}
.
Pour tout
i
{\displaystyle i}
de
1
{\displaystyle 1}
à
n
{\displaystyle n}
,
A
(
e
i
)
∈
E
i
−
1
{\displaystyle A(e_{i})\in E_{i-1}}
donc pour tout
k
{\displaystyle k}
de
1
{\displaystyle 1}
à
n
{\displaystyle n}
,
A
(
E
k
)
⊂
E
k
−
1
{\displaystyle A(E_{k})\subset E_{k-1}}
et a fortiori ,
A
k
(
E
k
)
=
A
k
−
1
(
A
(
E
k
)
)
⊂
A
k
−
1
(
E
k
−
1
)
{\displaystyle A^{k}(E_{k})=A^{k-1}(A(E_{k}))\subset A^{k-1}(E_{k-1})}
. Par conséquent :
A
n
(
K
n
)
=
A
n
(
E
n
)
⊂
A
n
−
1
(
E
n
−
1
)
⊂
⋯
⊂
A
(
E
1
)
⊂
E
0
=
Vect
(
∅
)
=
{
0
}
{\displaystyle A^{n}(K^{n})=A^{n}(E_{n})\subset A^{n-1}(E_{n-1})\subset \dots \subset A(E_{1})\subset E_{0}=\operatorname {Vect} (\varnothing )=\{0\}}
.
Soit
A
=
(
0
a
b
0
0
c
0
0
0
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{pmatrix}}}
avec
a
,
b
,
c
∈
R
{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }
.
Calculer
A
2
{\displaystyle A^{2}}
et
A
3
{\displaystyle A^{3}}
.
En déduire la matrice inverse de
I
3
−
A
{\displaystyle \mathrm {I} _{3}-A}
.
On considère les deux matrices suivantes :
A
=
(
2
3
−
4
1
5
2
1
0
3
1
−
6
7
2
4
0
1
)
,
B
=
(
3
−
1
−
3
7
4
0
2
1
2
3
0
−
5
1
6
6
1
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&3&-4&1\\5&2&1&0\\3&1&-6&7\\2&4&0&1\end{pmatrix}},\ \ \ \ \ \ B={\begin{pmatrix}3&-1&-3&7\\4&0&2&1\\2&3&0&-5\\1&6&6&1\end{pmatrix}}}
.
Calculer
A
B
{\displaystyle AB}
et
B
A
{\displaystyle BA}
. Que remarque-t-on ?
Solution
A
B
=
(
11
−
8
6
38
25
−
2
−
11
32
8
21
35
59
23
4
8
19
)
≠
B
A
=
(
6
32
5
−
11
16
18
−
28
19
9
−
8
−
5
−
3
52
25
−
34
44
)
{\displaystyle AB={\begin{pmatrix}11&-8&6&38\\25&-2&-11&32\\8&21&35&59\\23&4&8&19\end{pmatrix}}\neq BA={\begin{pmatrix}6&32&5&-11\\16&18&-28&19\\9&-8&-5&-3\\52&25&-34&44\end{pmatrix}}}
.
Soient
A
=
(
4
8
1
2
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}4&8\\1&2\end{pmatrix}}}
et
B
=
(
3
9
1
1
)
{\displaystyle B={\begin{pmatrix}3&9\\1&1\end{pmatrix}}}
.
Calculez et comparez
A
2
+
2
A
B
+
B
2
{\displaystyle A^{2}+2AB+B^{2}}
et
(
A
+
B
)
2
{\displaystyle (A+B)^{2}}
.
Solution
A
2
+
2
A
B
+
B
2
=
(
24
48
6
12
)
+
2
(
20
44
5
11
)
+
(
18
36
4
10
)
=
(
82
172
20
44
)
≠
(
A
+
B
)
2
=
(
7
17
2
3
)
2
=
(
83
170
20
43
)
{\displaystyle A^{2}+2AB+B^{2}={\begin{pmatrix}24&48\\6&12\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}20&44\\5&11\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}18&36\\4&10\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}82&172\\20&44\end{pmatrix}}\neq (A+B)^{2}={\begin{pmatrix}7&17\\2&3\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}83&170\\20&43\end{pmatrix}}}
.
Normal puisque
A
2
+
2
A
B
+
B
2
−
(
A
+
B
)
2
=
A
B
−
B
A
=
(
20
44
5
11
)
−
(
21
42
5
10
)
=
(
−
1
2
0
1
)
{\displaystyle A^{2}+2AB+B^{2}-(A+B)^{2}=AB-BA={\begin{pmatrix}20&44\\5&11\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}21&42\\5&10\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}}}
.
Soient
A
{\displaystyle A}
et
B
{\displaystyle B}
deux matrices carrées de même taille. Montrer que si
A
B
=
0
{\displaystyle AB=0}
, les matrices
A
{\displaystyle A}
et
B
{\displaystyle B}
ne sont pas inversibles.
Solution
A
′
A
=
I
et
A
B
=
0
⇒
0
=
A
′
0
=
A
′
(
A
B
)
=
(
A
′
A
)
B
=
I
B
=
B
{\displaystyle A'A=\mathrm {I} {\text{ et }}AB=0\Rightarrow 0=A'0=A'(AB)=(A'A)B=\mathrm {I} B=B}
. De même,
B
B
′
=
I
et
A
B
=
0
⇒
A
=
0
{\displaystyle BB'=\mathrm {I} {\text{ et }}AB=0\Rightarrow A=0}
.
Soit
A
=
(
0
1
1
1
0
1
1
1
0
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}}
. Calculer
A
2
{\displaystyle A^{2}}
et vérifier que
A
2
=
A
+
2
I
3
{\displaystyle A^{2}=A+2\mathrm {I} _{3}}
. En déduire que
A
{\displaystyle A}
est inversible et calculer son inverse.
Soit
A
=
(
−
1
1
1
1
−
1
1
1
1
−
1
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}}}
. Calculer
A
2
{\displaystyle A^{2}}
et vérifier que
A
2
=
2
I
3
−
A
{\displaystyle A^{2}=2\mathrm {I} _{3}-A}
. En déduire que
A
{\displaystyle A}
est inversible et calculer son inverse.
Soient
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
et
A
∈
M
n
{\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n}}
une matrice nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe un entier
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
tel que
A
p
=
0
{\displaystyle A^{p}=0}
. Démontrer que la matrice
I
n
−
A
{\displaystyle \mathrm {I} _{n}-A}
est inversible et déterminer son inverse.
Solution
(
I
n
−
A
)
(
I
n
+
A
+
A
2
+
⋯
+
A
p
−
1
)
=
I
n
{\displaystyle (\mathrm {I} _{n}-A)(\mathrm {I} _{n}+A+A^{2}+\dots +A^{p-1})=\mathrm {I} _{n}}
.
En utilisant un système linéaire, inverser la matrice
A
=
(
1
1
1
2
1
1
1
2
1
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&1\\2&1&1\\1&2&1\end{pmatrix}}}
.
Solution
{
x
+
y
+
z
=
a
2
x
+
y
+
z
=
b
x
+
2
y
+
z
=
c
⇔
{
x
+
y
+
z
=
a
x
=
b
−
a
y
=
c
−
a
⇔
{
x
=
b
−
a
y
=
c
−
a
z
=
3
a
−
b
−
c
{\displaystyle {\begin{cases}x+y+z&=a\\2x+y+z&=b\\x+2y+z&=c\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x+y+z&=a\\x&=b-a\\y&=c-a\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=b-a\\y&=c-a\\z&=3a-b-c\end{cases}}}
donc
A
{\displaystyle A}
est inversible, d'inverse
(
−
1
1
0
−
1
0
1
3
−
1
−
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&1&0\\-1&0&1\\3&-1&-1\end{pmatrix}}}
.
Pour quelles valeurs de
a
{\displaystyle a}
la matrice
A
=
(
1
1
1
1
2
4
1
3
a
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&3&a\end{pmatrix}}}
est-elle inversible ? Calculer dans ce cas son inverse.
Solution
det
A
=
a
−
7
{\displaystyle \det A=a-7}
donc
A
{\displaystyle A}
est inversible pour
a
≠
7
{\displaystyle a\neq 7}
, et son inverse est alors égale à
1
a
−
7
t
r
a
n
s
p
o
s
e
´
e
(
|
2
4
3
a
|
−
|
1
4
1
a
|
|
1
2
1
3
|
−
|
1
1
3
a
|
|
1
1
1
a
|
−
|
1
1
1
3
|
|
1
1
2
4
|
−
|
1
1
1
4
|
|
1
1
1
2
|
)
=
1
a
−
7
(
2
a
−
12
3
−
a
2
4
−
a
a
−
1
−
3
1
−
2
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{a-7}}\operatorname {transpos{\acute {e}}e} {\begin{pmatrix}{\begin{vmatrix}2&4\\3&a\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&4\\1&a\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}1&1\\3&a\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&1\\1&a\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&1\\1&3\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}1&1\\2&4\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}1&1\\1&4\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{a-7}}{\begin{pmatrix}2a-12&3-a&2\\4-a&a-1&-3\\1&-2&1\end{pmatrix}}}
.
Calculer l'inverse de la matrice suivante en passant par le calcul de sa comatrice.
A
=
(
1
2
1
0
2
1
1
3
1
2
−
2
1
3
0
2
1
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&1&0\\2&1&1&3\\1&2&-2&1\\3&0&2&1\end{pmatrix}}}
.
Solution
En développant par exemple par rapport à la première ligne,
det
(
A
)
=
|
1
1
3
2
−
2
1
0
2
1
|
−
2
|
2
1
3
1
−
2
1
3
2
1
|
+
|
2
1
3
1
2
1
3
0
1
|
=
6
−
2
×
18
−
12
=
−
42
≠
0
{\displaystyle \det(A)=\left|{\begin{array}{ccc}1&1&3\\2&-2&1\\0&2&1\end{array}}\right|-2\left|{\begin{array}{ccc}2&1&3\\1&-2&1\\3&2&1\end{array}}\right|+\left|{\begin{array}{ccc}2&1&3\\1&2&1\\3&0&1\end{array}}\right|=6-2\times 18-12=-42\neq 0}
donc
A
{\displaystyle A}
est inversible,
et
c
o
m
(
A
)
=
(
|
1
1
3
2
−
2
1
0
2
1
|
−
|
2
1
3
1
−
2
1
3
2
1
|
|
2
1
3
1
2
1
3
0
1
|
−
|
2
1
1
1
2
−
2
3
0
2
|
−
|
2
1
0
2
−
2
1
0
2
1
|
|
1
1
0
1
−
2
1
3
2
1
|
−
|
1
2
0
1
2
1
3
0
1
|
|
1
2
1
1
2
−
2
3
0
2
|
|
2
1
0
1
1
3
0
2
1
|
−
|
1
1
0
2
1
3
3
2
1
|
|
1
2
0
2
1
3
3
0
1
|
−
|
1
2
1
2
1
1
3
0
2
|
−
|
2
1
0
1
1
3
2
−
2
1
|
|
1
1
0
2
1
3
1
−
2
1
|
−
|
1
2
0
2
1
3
1
2
1
|
|
1
2
1
2
1
1
1
2
−
2
|
)
{\displaystyle \mathrm {com} (A)=\left({\begin{array}{cccc}\left|{\begin{array}{ccc}1&1&3\\2&-2&1\\0&2&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}2&1&3\\1&-2&1\\3&2&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}2&1&3\\1&2&1\\3&0&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&2&-2\\3&0&2\end{array}}\right|\\-\left|{\begin{array}{ccc}2&1&0\\2&-2&1\\0&2&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&-2&1\\3&2&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}1&2&0\\1&2&1\\3&0&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&2&-2\\3&0&2\end{array}}\right|\\\left|{\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&1&3\\0&2&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}1&1&0\\2&1&3\\3&2&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}1&2&0\\2&1&3\\3&0&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&1\\3&0&2\end{array}}\right|\\-\left|{\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&1&3\\2&-2&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}1&1&0\\2&1&3\\1&-2&1\end{array}}\right|&-\left|{\begin{array}{ccc}1&2&0\\2&1&3\\1&2&1\end{array}}\right|&\left|{\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&1&1\\1&2&-2\end{array}}\right|\\\end{array}}\right)}
=
(
6
−
18
−
12
6
10
−
2
−
6
−
18
−
11
−
2
15
3
−
19
8
3
9
)
{\displaystyle =\left({\begin{array}{cccc}6&-18&-12&6\\10&-2&-6&-18\\-11&-2&15&3\\-19&8&3&9\end{array}}\right)}
donc
A
−
1
=
1
det
(
A
)
(
c
o
m
(
A
)
)
)
t
=
1
−
42
(
6
10
−
11
−
19
−
18
−
2
−
2
8
−
12
−
6
15
3
6
−
18
3
9
)
=
(
−
1
/
7
−
5
/
21
11
/
42
19
/
42
3
/
7
1
/
21
1
/
21
−
4
/
21
2
/
7
1
/
7
−
5
/
14
−
1
/
14
−
1
/
7
3
/
7
−
1
/
14
−
3
/
14
)
{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\Big (}\mathrm {com} (A)){\Big )}^{t}={\frac {1}{-42}}\left({\begin{array}{cccc}6&10&-11&-19\\-18&-2&-2&8\\-12&-6&15&3\\6&-18&3&9\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccc}-1/7&-5/21&11/42&19/42\\3/7&1/21&1/21&-4/21\\2/7&1/7&-5/14&-1/14\\-1/7&3/7&-1/14&-3/14\end{array}}\right)}
et pour s'assurer qu'on n'a pas fait d'erreur de calcul, on peut vérifier que
A
×
A
−
1
=
I
4
{\displaystyle A\times A^{-1}=\mathrm {I} _{4}}
ou que
A
−
1
×
A
=
I
4
{\displaystyle A^{-1}\times A=\mathrm {I} _{4}}
(l'une des deux vérifications suffit car une matrice carrée est inversible à droite si et seulement si elle est inversible à gauche et quand elle l'est, l'inverse est unique).
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Calculer, par la méthode du pivot de Gauss, l'inverse de
(
1
2
1
2
0
1
3
1
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&1\\2&0&1\\3&1&2\end{pmatrix}}}
.
Solution
(
1
3
−
2
1
1
−
1
−
2
−
5
4
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&-2\\1&1&-1\\-2&-5&4\end{pmatrix}}}
.