Fonction exponentielle/Fonction racine n-ième

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Racine n-ième

Définition

Soit x un réel positif et n un entier strictement positif. On définit ${\sqrt[{n}]{x}}$, également noté $x^{\frac {1}{n}}$, comme l'unique réel positif dont la puissance n-ième vaut x.

Propriétés algébriques

Pour tous réels positifs x et y et tous entiers strictement positifs m et n :

• ${\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}}={\sqrt[{n}]{xy}}$
• ${\frac {\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}}}={\sqrt[{n}]{\frac {x}{y}}}$ ($\forall y\neq 0$)
• ${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{x}}}={\sqrt[{mn}]{x}}=x^{1 \over m\times n}$
• ${\sqrt[{m}]{x}}\times {\sqrt[{n}]{x}}={\sqrt[{m\times n}]{x}}^{m+n}=x^{m+n \over m\times n}$
• ${{\sqrt[{m}]{x}} \over {\sqrt[{n}]{x}}}={\sqrt[{m\times n}]{x}}^{n-m}=x^{n-m \over m\times n}$ $(\forall x\neq 0)$
• ${1 \over {\sqrt[{n}]{x}}}={\sqrt[{-n}]{x}}=x^{-1 \over n}$ $(\forall x\neq 0)$
• $\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{m}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}=x^{m \over n}$

Cette dernière propriété se réécrit $\left(x^{1/n}\right)^{m}=(x^{m})^{1/n}$. Ce nombre se note aussi $x^{m/n}$ et son inverse (si $x\neq 0$) se note $x^{-m/n}$, ce qui ne dépend pas de la représentation fractionnaire choisie pour $r$, et étend à tous les rationnels r la notation $x^{r}$. On vérifie que cette notation est compatible avec les propriétés déjà connues sur les exposants entiers ou inverses d'entiers.

En particulier :$\forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall u,v\in \mathbb {Q} \quad x^{u+v}=x^{u}\times x^{v}$.

Démonstration

Soient $q,q'>0$ et $p,p'$ des entiers tels que $u={\frac {p}{q}}$ et $v={\frac {p'}{q'}}$. Alors,

$\left(x^{u+v}\right)^{qq'}=x^{pq'+p'q}=x^{pq'}x^{p'q}=\left(x^{u}\right)^{qq'}\left(x^{v}\right)^{qq'}=\left(x^{u}x^{v}\right)^{qq'}$.

 

Fonction racine n-ième

Début d’un théorème

Théorème

• La fonction $f_{n}:[0,+\infty [\to [0,+\infty [,x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$ est la réciproque de la bijection $[0,+\infty [\to [0,+\infty [,x\mapsto x^{n}.$
• Elle est continue sur $[0,+\infty [$, dérivable sur $]0,+\infty [$ et $f_{n}'(x)={\frac {1}{n({\sqrt[{n}]{x}})^{n-1}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}.$
• Elle est strictement croissante sur $[0,+\infty [$
• $\lim _{x\to +\infty }{\sqrt[{n}]{x}}=+\infty$
• ${\sqrt[{n}]{0}}=0$

Fin du théorème