Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Présentation globale

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Les entiers naturels

Définition

$\mathbb {N}$ désigne l’ensemble des entiers naturels. $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\dots \}$.

Début de l'exemple

Exemples

• 3 appartient à $\mathbb {N}$ ; on note : $3\in \mathbb {N}$.
• Le nombre 3,5 n'appartient pas à $\mathbb {N}$ ; on note : $3{,}5\notin \mathbb {N}$.

Fin de l'exemple

Les entiers relatifs

Définition

L'ensemble des entiers relatifs est :

$\mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$.

Les décimaux

Définition

Un nombre est décimal s'il s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule, ou encore, s'il est le quotient d'un entier relatif par une puissance de 10.

On note $\mathbb {D}$ l’ensemble des décimaux.

Début de l'exemple

Exemples

• Le nombre $3{,}5$ est décimal.
• 1,123456789 est décimal car $1{,}123456789={\frac {1123456789}{1000000000}}$.
• $-2\in \mathbb {D}$ (comme tous les entiers relatifs).
• $-2{,}123\in \mathbb {D}$.
• ${\frac {1}{3}}\notin \mathbb {D}$.

Fin de l'exemple

Les rationnels

Définition

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire comme quotient ${\frac {a}{b}}$ d'un entier relatif $a$ par un entier non nul $b$.

On note $\mathbb {Q}$ l’ensemble des rationnels.

Début de l'exemple

Exemples

• $3{,}5$ est rationnel (comme tous les décimaux).
• ${\frac {1}{3}}\in \mathbb {Q}$.
• ${\sqrt {2}}$ n’est pas rationnel car il n'existe pas d'entiers $a$ et $b$ tels que ${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$.

Démonstration

On utilise le petit résultat suivant : un entier et son carré ont même parité. En effet si $n=2m$ alors $n^{2}=4m^{2}=2(2m^{2})$, et si $n=2m+1$ alors $n^{2}=4m^{2}+4m+1=4(m^{2}+m)+1$.

Ceci étant, on procède par l'absurde et on choisit une fraction irréductible tel que ${\frac {a}{b}}={\sqrt {2}}$. Ainsi $a^{2}=2b^{2}$ est pair, donc $a$ aussi. On l'écrit alors : $a=2a'$. Mais alors $4a'^{2}=2b^{2}$ de sorte que $2a'^{2}=b^{2}$, et que b est aussi pair, ce qui contredit l'hypothèse d'irréductibilité.

 

Fin de l'exemple

Les réels

« Définition »

L'ensemble des nombres réels $\mathbb {R}$ complète celui des rationnels et englobe tous les nombres qui peuvent se placer sur une droite graduée.

Début de l'exemple

Exemples

• ${\sqrt {2}}\in \mathbb {R}$.
• $\pi \in \mathbb {R}$.

Fin de l'exemple

Schéma d'inclusions successives

En « désordonnant » ces ensembles et en les imaginant sous forme de « patates », on peut faire le schéma d'inclusions ci-contre.

En utilisant le signe $\subset$ qui signifie : « est contenu dans » ou « est inclus dans », on a :

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {D} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$.

Les ensembles contenant les sous-ensembles héritent de leurs propriétés et caractéristiques algébriques.

Remarque

On note $\mathbb {I}$ l’ensemble des irrationnels (réels qui ne sont pas rationnels). On a donc aussi : $\mathbb {I} \subset \mathbb {R}$.