Espace euclidien/Formes bilinéaires symétriques et quadratiques

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Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie n.

Matrice d'une forme bilinéaire symétrique

Soient :

• $f\in {\mathcal {S}}_{2}(E)$
• Q la forme quadratique associée à ƒ
• $e=(e_{1},\cdots ,e_{n})$ une base de E
• $x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}$ et $y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}$ deux vecteurs de E

On a :

$f(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}y_{j}f(e_{i},e_{j})$

Définition

On pose $F=(f(e_{i},e_{j}))_{1\leq i\leq n~,~1\leq j\leq n}$ la matrice de la forme bilinéaire symétrique f dans la base e.

Comme ƒ est symétrique, F est une matrice symétrique.

Propriété

Si on pose $X={\begin{array}{|l}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}$ et $Y={\begin{array}{|l}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{array}}$, alors $f(x,y)=^{t}\!\!X.F.Y$

Matrice de la forme quadratique associée

Si on s'intéresse au calcul de Q, on obtient :

${\begin{aligned}Q(x)&=f(x,x)\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}x_{j}f(e_{i},e_{j})\\&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}f(e_{i},e_{i})+2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j<i}x_{i}x_{j}f(e_{i},e_{j})\end{aligned}}$

Propriété

Si on pose $X={\begin{array}{|l}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}$, alors $Q(x)=^{t}\!\!X.F.X$.

On dit par extension que F est aussi la matrice de la forme quadratique Q dans e.

Il est très important de savoir passer de la matrice d'une forme quadratique à son expression analytique.

Début d’un principe

Passage entre expression analytique et matrice

• L'expression analytique est de la forme $Q(x_{1},\cdots ,x_{n})=\lambda _{1}x_{1}^{2}+\lambda _{2}x_{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}x_{n}^{2}+{\textbf {2}}\mu _{12}x_{1}x_{2}+{\textbf {2}}\mu _{13}x_{1}x_{3}+\cdots$
• On place sur la diagonale (dans l’ordre !) les termes en λ_i
• On place pour i ≠ j, à la ligne i et colonne j le coefficient μ_ij, qui est la moitié du coefficient numérique lu dans l'expression. C'est le coefficient qui correspond au produit de la coordonnée x_i par x_j.
• On obtient alors la matrice, qui est de la forme :

${\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\mu _{12}&\cdots &\mu _{1n}\\\mu _{12}&\lambda _{2}&\ddots &\mu _{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\mu _{n1}&\mu _{n2}&\cdots &\lambda _{n}\\\end{pmatrix}}$

Fin du principe

Début de l'exemple

Une forme quadratique de R³

On se place dans $E=\mathbb {R} ^{3}$ muni de sa base canonique e. Tout vecteur V de E admet des coordonnées $V={\begin{array}{|l}x\\y\\z\end{array}}$ dans e.

On définit l’application Q par $\forall V\in \mathbb {R} ^{3},~Q(V)=2x^{2}-3y^{2}+7z^{2}+12xy-2xz+3yz$.

Q est une forme quadratique sur E, et sa matrice F dans la base e est ${\begin{pmatrix}2&6&-1\\6&-3&{\frac {3}{2}}\\-1&{\frac {3}{2}}&7\end{pmatrix}}$

Fin de l'exemple

À cause du coefficient 2, il ne faut pas oublier que les termes non diagonaux valent la moitié des coefficients lus dans l’expression analytique.

Toutes ces considérations seront utiles dans l'étude des coniques et des quadriques d'un espace euclidien.

Changement de base

Début d’un théorème

Formule de changement de base

Soient :

• $e$ et $e'$ deux bases de $E$ ;
• $f\in {\mathcal {S}}_{2}(E)$, de matrice $A$ dans $e$ et $B$ dans $e'$ ;
• $P={\mathcal {P}}_{e}^{e'}$, matrice de passage de $e$ à $e'$.

Alors $B=^{\operatorname {t} }\!P\,A\,P$.

Fin du théorème

Démonstration

Pour tous n-uplets de réels $X'$ et $Y'$, en désignant par $x$ et $y$ les vecteurs de coordonnées $X'$ et $Y'$ dans $e'$, et par $X$ et $Y$ les coordonnées de ces mêmes vecteurs dans $e$, on a

$^{\operatorname {t} }\!X'BY'=f(x,y)=^{\operatorname {t} }\!XAY=^{\operatorname {t} }\!(PX')A(PY')=^{\operatorname {t} }\!X'(^{\operatorname {t} }PAP)Y'$,

ce qui, puisque $X'$ et $Y'$ sont arbitraires, prouve l'égalité des deux matrices.