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Exercice : Images directes et réciproquesApplication (mathématiques)/Exercices/Images directes et réciproques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient
E
{\displaystyle E}
et
F
{\displaystyle F}
deux ensembles,
f
:
E
→
F
{\displaystyle f:E\to F}
une application,
A
{\displaystyle A}
et
A
′
{\displaystyle A'}
deux parties de
E
{\displaystyle E}
, et
B
{\displaystyle B}
et
B
′
{\displaystyle B'}
deux parties de
F
{\displaystyle F}
. Démontrer les propriétés suivantes (en utilisant éventuellement, pour chacune, les précédentes).
f
(
A
∪
A
′
)
=
f
(
A
)
∪
f
(
A
′
)
{\displaystyle f(A\cup A')=f(A)\cup f(A')}
.
Solution
f
(
A
∪
A
′
)
=
{
f
(
x
)
∣
x
∈
A
∪
A
′
}
=
{
f
(
x
)
∣
x
∈
A
}
∪
{
f
(
x
)
∣
x
∈
A
′
}
=
f
(
A
)
∪
f
(
A
′
)
{\displaystyle f(A\cup A')=\{f(x)\mid x\in A\cup A'\}=\{f(x)\mid x\in A\}\cup \{f(x)\mid x\in A'\}=f(A)\cup f(A')}
.
A
⊂
A
′
⇒
f
(
A
)
⊂
f
(
A
′
)
{\displaystyle A\subset A'\Rightarrow f(A)\subset f(A')}
.
Solution
A
⊂
A
′
⇔
A
∪
A
′
=
A
′
⇒
f
(
A
∪
A
′
)
=
f
(
A
′
)
⇔
{\displaystyle A\subset A'\Leftrightarrow A\cup A'=A'\Rightarrow f(A\cup A')=f(A')\Leftrightarrow }
[ 1]
f
(
A
)
∪
f
(
A
′
)
=
f
(
A
′
)
⇔
f
(
A
)
⊂
f
(
A
′
)
{\displaystyle f(A)\cup f(A')=f(A')\Leftrightarrow f(A)\subset f(A')}
.
↑ D'après l'exercice 1-1.
f
(
A
∩
A
′
)
⊂
f
(
A
)
∩
f
(
A
′
)
{\displaystyle f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A')}
.
Cette inclusion est parfois stricte.
Si
f
{\displaystyle f}
est injective alors
f
(
A
∩
A
′
)
=
f
(
A
)
∩
f
(
A
′
)
{\displaystyle f(A\cap A')=f(A)\cap f(A')}
.
f
−
1
(
B
∪
B
′
)
=
f
−
1
(
B
)
∪
f
−
1
(
B
′
)
{\displaystyle f^{-1}(B\cup B')=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B')}
.
Solution
Soit
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
. Alors,
x
∈
f
−
1
(
B
∪
B
′
)
⇔
f
(
x
)
∈
B
∪
B
′
⇔
f
(
x
)
∈
B
ou
f
(
x
)
∈
B
′
⇔
x
∈
f
−
1
(
B
)
ou
x
∈
f
−
1
(
B
′
)
⇔
x
∈
f
−
1
(
B
)
∪
f
−
1
(
B
′
)
{\displaystyle x\in f^{-1}(B\cup B')\Leftrightarrow f(x)\in B\cup B'\Leftrightarrow f(x)\in B{\text{ ou }}f(x)\in B'\Leftrightarrow x\in f^{-1}(B){\text{ ou }}x\in f^{-1}(B')\Leftrightarrow x\in f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B')}
.
B
⊂
B
′
⇒
f
−
1
(
B
)
⊂
f
−
1
(
B
′
)
{\displaystyle B\subset B'\Rightarrow f^{-1}(B)\subset f^{-1}(B')}
.
Solution
Se déduit de l'exercice 1-4 exactement de la même manière que l'exercice 1-2 se déduisait du 1-1.
f
−
1
(
B
∩
B
′
)
=
f
−
1
(
B
)
∩
f
−
1
(
B
′
)
{\displaystyle f^{-1}(B\cap B')=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B')}
.
f
−
1
(
∁
F
B
)
=
∁
E
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}\left(\complement _{F}B\right)=\complement _{E}{f^{-1}(B)}}
.
A
⊂
f
−
1
(
f
(
A
)
)
{\displaystyle A\subset f^{-1}(f(A))}
.
Cette inclusion est parfois stricte.
Si
f
{\displaystyle f}
est injective alors
A
=
f
−
1
(
f
(
A
)
)
{\displaystyle A=f^{-1}(f(A))}
.
On dit que
A
{\displaystyle A}
est saturé par
f
{\displaystyle f}
si
A
=
f
−
1
(
f
(
A
)
)
{\displaystyle A=f^{-1}(f(A))}
. Montrer que cette condition équivaut à :
∀
x
∈
A
∀
x
′
∈
E
f
(
x
)
=
f
(
x
′
)
⇒
x
′
∈
A
{\displaystyle \forall x\in A\quad \forall x'\in E\quad f(x)=f(x')\Rightarrow x'\in A}
. Montrer que les parties saturées de
E
{\displaystyle E}
sont les parties de la forme
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}(B)}
avec
B
⊂
F
{\displaystyle B\subset F}
.
f
(
f
−
1
(
B
)
)
=
B
∩
Im
(
f
)
{\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap \operatorname {Im} (f)}
.
Solution
y
∈
f
(
f
−
1
(
B
)
)
⇔
∃
x
∈
f
−
1
(
B
)
y
=
f
(
x
)
⇔
∃
x
∈
E
f
(
x
)
∈
B
et
y
=
f
(
x
)
⇔
∃
x
∈
E
y
∈
B
et
y
=
f
(
x
)
⇔
y
∈
B
et
∃
x
∈
E
y
=
f
(
x
)
⇔
y
∈
B
et
y
∈
Im
(
f
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}y\in f(f^{-1}(B))&\Leftrightarrow &\exists x\in f^{-1}(B)&\quad y=f(x)\\&\Leftrightarrow &\exists x\in E&\quad f(x)\in B\quad {\text{et}}\quad y=f(x)\\&\Leftrightarrow &\exists x\in E&\quad y\in B\quad {\text{et}}\quad y=f(x)\\&\Leftrightarrow &y\in B&\quad {\text{et}}\quad \exists x\in E\quad y=f(x)\\&\Leftrightarrow &y\in B&\quad {\text{et}}\quad y\in \operatorname {Im} (f).\end{aligned}}}
f
(
A
∩
f
−
1
(
B
)
)
=
B
∩
f
(
A
)
{\displaystyle f(A\cap f^{-1}(B))=B\cap f(A)}
Solution
Cette égalité se déduit de la précédente, appliquée à la restriction de
f
{\displaystyle f}
à
A
{\displaystyle A}
.
A
⊂
f
−
1
(
B
)
⇔
f
(
A
)
⊂
B
{\displaystyle A\subset f^{-1}(B)\Leftrightarrow f(A)\subset B}
.
Solution
Si
A
⊂
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle A\subset f^{-1}(B)}
alors
f
(
A
)
⊂
f
(
f
−
1
(
B
)
)
⊂
B
{\displaystyle f(A)\subset f(f^{-1}(B))\subset B}
d'après les exercices 1-2 et 1-9.
Si
f
(
A
)
⊂
B
{\displaystyle f(A)\subset B}
alors
A
⊂
f
−
1
(
f
(
A
)
)
⊂
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle A\subset f^{-1}(f(A))\subset f^{-1}(B)}
d'après les exercices 1-8 et 1-5.
Reconnaitre les ensembles
p
r
2
(
G
∩
(
A
×
F
)
)
{\displaystyle \mathrm {pr} _{2}(G\cap (A\times F))}
et
p
r
1
(
G
∩
(
E
×
B
)
)
{\displaystyle \mathrm {pr} _{1}(G\cap (E\times B))}
.
Solution
p
r
2
(
G
∩
(
A
×
F
)
)
=
f
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {pr} _{2}(G\cap (A\times F))=f(A)}
et
p
r
1
(
G
∩
(
E
×
B
)
)
=
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle \mathrm {pr} _{1}(G\cap (E\times B))=f^{-1}(B)}
.