Leçons de niveau 14

Variables aléatoires discrètes/Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson

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Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
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Chapitre no 7
Leçon : Variables aléatoires discrètes
Chap. préc. : Loi de Poisson
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Comparaison des modèles[modifier | modifier le wikicode]

  • Le modèle classique de la loi binomiale est la probabilité d’avoir un nombre donné k de succès sur un certain n nombre d'essais indépendants.
  • Pour la loi de Poisson, il s'agit de la probabilité d’avoir k succès (attention, ceci est juste une façon de parler, les succès peuvent être ... des pannes !) sur une période T avec un taux de succès .
  • On peut donc imaginer qu'en "découpant" la période T en n petits intervalles de temps, la loi binomiale se rapproche de la loi de Poisson, à condition que n soit grand.

Approximation poissonnienne, version simplifiée[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Dans une chaîne de fabrication, 5% des pièces sont défectueuses ; on prélève une pièce, on examine si elle est défectueuse et on la replace parmi les autres. On répète 120 fois cette expérience. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 120 pièces associe le nombre des pièces défectueuses.

  • X suit une loi binomiale. Précisons ses paramètres :
  • Calculons p(x=5).
  • Montrer qu'une approximation poissonnienne convient.
  • Calculer p(X=5) avec cette approximation.
  • Comparer les résultats.