Variables aléatoires discrètes/Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson

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Comparaison des modèles

• Le modèle classique de la loi binomiale est la probabilité d’avoir un nombre donné k de succès sur un certain n nombre d'essais indépendants.
• Pour la loi de Poisson, il s'agit de la probabilité d’avoir k succès (attention, ceci est juste une façon de parler, les succès peuvent être ... des pannes !) sur une période T avec un taux de succès $\lambda$.
• On peut donc imaginer qu'en "découpant" la période T en n petits intervalles de temps, la loi binomiale se rapproche de la loi de Poisson, à condition que n soit grand.

Approximation poissonnienne, version simplifiée

Début d’un théorème

Théorème

Pour n "assez grand" ($n>30$) et pour p voisin de 0 ($p\leq 0,1$) tels que $np(1-p)\leq 10$,

on peut approcher la loi binomiale B(n,p) par la loi de Poisson $P(\lambda )$, où $\lambda =np$.

• On a alors :

$p(X=k)\approx {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }$

Fin du théorème

Exemple

Dans une chaîne de fabrication, 5% des pièces sont défectueuses ; on prélève une pièce, on examine si elle est défectueuse et on la replace parmi les autres. On répète 120 fois cette expérience. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 120 pièces associe le nombre des pièces défectueuses.

• X suit une loi binomiale. Précisons ses paramètres :

Solution

Les paramètres se déduisent de la définition du problème :
$\left\{{\begin{array}{ll}p=5\%=0.05\\n=120\end{array}}\right.$

 

• Calculons p(x=5).

Solution

Selon la définition de la loi de probabilité binomiale on a :
$B_{p}^{n}:P[X=k]={\mathcal {C}}_{n}^{k}.p^{k}.(1-p)^{n-k}$
dans notre cas on a cherché la probabilité $P[X=5]$, il suffit de remplacer les variables par leur valeur :
$P[X=5]={\mathcal {C}}_{120}^{5}.0.05^{5}.(0.95)^{115}$
numériquement la probabilité est $P[X=5]\approx 0.16335689$

 

• Montrer qu'une approximation poissonnienne convient.

Solution

n = 120 suffisamment grand (>30) et p = 0,05 voisin de 0 (<0,1) tels que n*p*(1-p) = 120*0,05*0,95 = 5,7 < 10

 

• Calculer p(X=5) avec cette approximation.

Solution

Notre approximation poissonienne est :
$\Pi (\lambda ):P[X=k]={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}.e^{-\lambda }$ avec $\lambda =np(=6<10)$
On cherche l'approximation de la probabilité $P[X=5]$ suivant la loi $\Pi (np)$ :
$P[X=5]={\frac {(np)^{k}}{k!}}.e^{-np}={\frac {6^{5}}{5!}}.e^{-6}\approx 0.16062314$

 

• Comparer les résultats.

Comparaison

Il est clair que les probabilités sont très semblables : $0.16335689\approx 0.16062314$
L'erreur commise en réalisant cette approximation est $\approx 0.00273375$
soit ${\frac {0.00273375}{0.16335689}}\approx 0.0167348313\%$