Variables aléatoires discrètes/Définitions

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Variables aléatoires

Définition

Une variable aléatoire discrète X est une fonction qui associe

à chaque résultat d'une expérience aléatoire un nombre entier naturel k. On note :

$X:\Omega \rightarrow \mathbb {N}$

Exemples

• Les variables aléatoires discrètes sont souvent utilisées pour quantifier le "nombre de fois" qu'un évènement se produit, quand celui-ci est soumis au hasard.
• Par exemple, après n lancers successifs d'un dé, on peut noter $X_{n}$ le nombre de fois où l’on a obtenu 6. $X_{n}$ est alors une variable aléatoire discrète.
• On peut aussi définir dans le même contexte la variable aléatoire discrète Y donnant le numéro du lancer qui a donné 6 pour la première fois.

Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète

Définition

Si X est une variable aléatoire discrète, on donne la loi de probabilité de X en donnant une suite $(p_{k})$ où $p_{k}=p(X=k)$

Exemple

Après n lancers successifs d'un dé équilibré, notons X la variable aléatoire discrète donnant le numéro du lancer qui a donné 6 pour la première fois. Si on a obtenu 6 pour la première fois au k-ième lancer, cela signifie que l’on a obtenu un des résultats 1, 2, 3, 4, 5 k-1 fois auparavant, avec une probabilité de ${\frac {5}{6}}$ à chaque fois. d'où :

$p_{k}=p(X=k)=\left({\frac {5}{6}}\right)^{k-1}\times {\frac {1}{6}}$

Espérance d'une variable aléatoire discrète

Définition

En étendant la définition de l'espérance sur les ensembles finis, on a la formule suivante pour une variable aléatoire discrète X de loi de probabilité $(p_{k})$ :

$E(X)=\sum _{i=1}^{+\infty }p_{i}\times x_{i}$

• L'espérance de X représente ce que X vaut en moyenne, si on recommence l'expérience un grand nombre de fois.
• Il faut remarquer que la somme infinie qui définit l'espérance pourrait fort bien ne pas converger (voir Série numérique). Cette difficulté technique ne sera pas développée ici ; on ne traitera dans les exercices que des exemples où la convergence (absolu) est assurée.

Exemple

Après n lancers successifs d'un dé équilibré, si Y est la variable aléatoire discrète donnant le numéro du lancer qui a donné 6 pour la première fois.

On a vu que : $p_{k}=p(X=k)=\left({\frac {5}{6}}\right)^{k-1}\times {\frac {1}{6}}$ Donc :

$E(X)=\sum _{i=1}^{+\infty }p_{i}\times x_{i}=\sum _{i=1}^{+\infty }\left({\frac {5}{6}}\right)^{i-1}\times {\frac {1}{6}}\times i={\frac {1}{6}}\sum _{i=1}^{+\infty }i\times \left({\frac {5}{6}}\right)^{i-1}$

En utilisant la formule :

$\sum _{i=0}^{+\infty }q^{i}={\frac {1}{1-q}}$

et en dérivant membre à membre (on ne posera pas ici la question de savoir si on a le droit de le faire, voir Série entière), on obtient :

$\sum _{i=1}^{+\infty }i\times q^{i-1}={\frac {1}{(1-q)^{2}}}$

donc en prenant $q={\frac {5}{6}}$ et en remplaçant dans notre calcul :

$E(X)={\frac {1}{6}}\sum _{i=1}^{+\infty }i\times \left({\frac {5}{6}}\right)^{i-1}={\frac {1}{6}}{\frac {1}{(1-{\frac {5}{6}})^{2}}}$

$E(X)={\frac {1}{6}}{\frac {1}{({\frac {1}{6}})^{2}}}={\frac {1}{\frac {1}{6}}}=6$

Ce résultat signifie qu'en moyenne, on obtiendra le premier 6 après 6 lancers.

Variance d'une variable aléatoire discrète

Définition

Soit X une v.a discrète de loi $(p_{i})$. La variance de X se calcule ainsi :

$V(X)=\sum _{i=0}^{+\infty }p_{i}\times (x_{i}-E(X))^{2}$

• La variance de X représente la moyenne des carrés des écarts à l'espérance de X.
• Elle mesure la tendance de X à la dispersion autour de son espérance, de manière similaire à la variance d'une série statistique.
• Là encore, on ne s'inquiétera pas de la convergence de cette série.

Formule

Début d’un théorème

Théorème

$V(X)=\sum _{i=0}^{+\infty }p_{i}\times x_{i}^{2}-E(X)^{2}$

Fin du théorème

Exemple

Calculer la variance de la v.a.d Y de l'exemple précédent.

Écart-type

Définition

L'écart-type d'une variable aléatoire X est la racine carrée de sa variance :

$\sigma (X)={\sqrt {V(X)}}$

• L'écart-type mesure également la tendance à la dispersion de la v.a, et ce dans les mêmes unités que celle des $x_{i}$ (si les $x_{i}$ sont des euros, $\sigma$ est en euros).
• On pourrait alors se demander quel est l’intérêt de la variance, puisqu'elle n’est pas exprimée dans la même unité que les $x_{i}$ ...

Une réponse à cette question est que la variance est beaucoup plus facile à manier dans les exposés théoriques grâce à l'absence de racine carrée.