Leçons de niveau 14

Variables aléatoires discrètes/Définitions

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Chapitre no 1
Leçon : Variables aléatoires discrètes
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Variables aléatoires discrètes/Définitions
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Variables aléatoires[modifier | modifier le wikicode]


Exemples[modifier | modifier le wikicode]

  • Les variables aléatoires discrètes sont souvent utilisées pour quantifier le "nombre de fois" qu'un évènement se produit, quand celui-ci est soumis au hasard.
  • Par exemple, après n lancers successifs d'un dé, on peut noter le nombre de fois où l’on a obtenu 6. est alors une variable aléatoire discrète.
  • On peut aussi définir dans le même contexte la variable aléatoire discrète Y donnant le numéro du lancer qui a donné 6 pour la première fois.

Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète[modifier | modifier le wikicode]


Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Après n lancers successifs d'un dé équilibré, notons X la variable aléatoire discrète donnant le numéro du lancer qui a donné 6 pour la première fois. Si on a obtenu 6 pour la première fois au k-ième lancer, cela signifie que l’on a obtenu un des résultats 1, 2, 3, 4, 5 k-1 fois auparavant, avec une probabilité de à chaque fois. d'où :

Espérance d'une variable aléatoire discrète[modifier | modifier le wikicode]


  • L'espérance de X représente ce que X vaut en moyenne, si on recommence l'expérience un grand nombre de fois.
  • Il faut remarquer que la somme infinie qui définit l'espérance pourrait fort bien ne pas converger (voir Série numérique). Cette difficulté technique ne sera pas développée ici ; on ne traitera dans les exercices que des exemples où la convergence est assurée.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Après n lancers successifs d'un dé équilibré, si Y est la variable aléatoire discrète donnant le numéro du lancer qui a donné 6 pour la première fois.

On a vu que : Donc :

En utilisant la formule :

et en dérivant membre à membre (on ne posera pas ici la question de savoir si on a le droit de le faire, voir Série entière), on obtient :

donc en prenant et en remplaçant dans notre calcul :

Ce résultat signifie qu'en moyenne, on obtiendra le premier 6 après 6 lancers.

Variance d'une variable aléatoire discrète[modifier | modifier le wikicode]


  • La variance de X représente la moyenne des carrés des écarts à l'espérance de X.
  • Elle mesure la tendance de X à la dispersion autour de son espérance, de manière similaire à la variance d'une série statistique.
  • Là encore, on ne s'inquiétera pas de la convergence de cette série.

Formule[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Calculer la variance de la v.a.d Y de l'exemple précédent.

Écart-type[modifier | modifier le wikicode]


  • L'écart-type mesure également la tendance à la dispersion de la v.a, et ce dans les mêmes unités que celle des (si les sont des euros, est en euros).
  • On pourrait alors se demander quel est l’intérêt de la variance, puisqu'elle n’est pas exprimée dans la même unité que les ...
Une réponse à cette question est que la variance est beaucoup plus facile à manier dans les exposés théoriques grâce à l'absence de racine carrée.