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Probabilités de l'ingénieur : algorithmes stochastiques et simulation/Méthode de la transformée inverse

Leçons de niveau 16
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Méthode de la transformée inverse
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Chapitre no 3
Leçon : Probabilités de l'ingénieur : algorithmes stochastiques et simulation
Chap. préc. :Simulation de la loi uniforme
Chap. suiv. :Méthode de rejet
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Théorème utilisé

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Début d’un théorème
Fin du théorème


Tout d’abord, il faut préciser le cadre d'application : en effet, dans le cas général, la fonction de répartition d'une loi est continue à droite en chaque point, mais n’est pas forcément continue en chaque point. Par exemple, toute fonction de répartition d'une loi définie sur un ensemble discret n’est pas continue.

La notation peut être simplifiée dans le cas où la fonction de répartition est continue en chaque point. En effet, dans ce cas, la fonction étant également strictement monotone, elle est bijective. Il suffit alors que noter , où représente l’application réciproque de F.

Lois discrètes

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  • Loi de Bernoulli :

La fonction de répartition d'une loi de Bernoulli s'écrit

Ainsi, la variable à simuler par la méthode de la transformée inverse est .

Lois uniformes

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  • Discrète :

De façon similaire à la loi de Bernoulli, il faut découper l'intervalle [0;1] en n sous-intervalles de longueurs égales, ce qui donne une fonction de répartition .

Ainsi, la variable suit une loi uniforme discrète sur . Si on cherche une variable dont les valeurs sont supérieures à 1, il faut simuler .

  • Continue :

En remarquant que , on peut donc simuler : pour obtenir n’importe quelle loi uniforme.

Loi exponentielle

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La fonction de répartition d'une loi exponentielle s'écrit

Donc .

En remarquant que , on peut donc simuler : .

La fonction de répartition d'une loi de Cauchy s'écrit

Donc .

La simulation peut donc se faire par : .