Probabilités de l'ingénieur : algorithmes stochastiques et simulation/Méthode de la transformée inverse

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Théorème utilisé

Début d’un théorème

Méthode de la transformée inverse

Soit X, une variable aléatoire suivant une loi de probabilités de fonction de répartition F. On pose, pour $u\in ]0,1[$

$Y(u)=\inf _{x\in \mathbb {R} }\left(F(x)\geq u\right)$.

Alors la fonction de répartition de la variable Y est F.

Fin du théorème

Propriétés

Tout d’abord, il faut préciser le cadre d'application : en effet, dans le cas général, la fonction de répartition d'une loi est continue à droite en chaque point, mais n’est pas forcément continue en chaque point. Par exemple, toute fonction de répartition d'une loi définie sur un ensemble discret n’est pas continue.

La notation peut être simplifiée dans le cas où la fonction de répartition est continue en chaque point. En effet, dans ce cas, la fonction étant également strictement monotone, elle est bijective. Il suffit alors que noter $Y=F^{-1}(U)$, où $F^{-1}$ représente l’application réciproque de F.

Applications

Lois discrètes

• Loi de Bernoulli :

La fonction de répartition d'une loi de Bernoulli ${\mathcal {B}}(p)$ s'écrit $F(x)=(1-p)1_{]0,1[}(x)+1_{[1,+\infty [}(x)$

Ainsi, la variable à simuler par la méthode de la transformée inverse est $\lfloor p+U\rfloor$.

Lois uniformes

• Discrète :

De façon similaire à la loi de Bernoulli, il faut découper l'intervalle [0;1] en n sous-intervalles de longueurs égales, ce qui donne une fonction de répartition $F(x)=\lfloor {\frac {x}{n}}\rfloor 1_{]0,1[}(x)+1_{[1,+\infty [}(x)$.

Ainsi, la variable $\lfloor nU\rfloor$ suit une loi uniforme discrète sur $[0;n-1]$. Si on cherche une variable dont les valeurs sont supérieures à 1, il faut simuler $1+\lfloor nU\rfloor$.

• Continue :

En remarquant que $U\sim {\mathcal {U}}(]0;1[)\Longrightarrow a+(b-a)U\sim {\mathcal {U}}(]a;b[)$, on peut donc simuler : $X=a+(b-a)U$ pour obtenir n’importe quelle loi uniforme.

Loi exponentielle

La fonction de répartition d'une loi exponentielle ${\mathcal {E}}(\lambda )$ s'écrit $F(x)=(1-{e}^{-\lambda x})1_{[0,+\infty [}(x)$

Donc $u=F(x)\Longleftrightarrow x=-{\frac {\ln(1-u)}{\lambda }}$.

En remarquant que $U\sim {\mathcal {U}}(]0;1[)\Longleftrightarrow 1-U\sim {\mathcal {U}}(]0;1[)$, on peut donc simuler : $X=-{\frac {\ln(U)}{\lambda }}$.

Loi de Cauchy

La fonction de répartition d'une loi de Cauchy s'écrit $F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{a}}\right)$

Donc $u=F(x)\Longleftrightarrow x=x_{0}+a\tan \left[\pi \left(u-{\frac {1}{2}}\right)\right]$.

La simulation peut donc se faire par : $X=x_{0}+a\tan \left[\pi \left(U-{\frac {1}{2}}\right)\right]$.