Leçons de niveau 16

Probabilités de l'ingénieur : algorithmes stochastiques et simulation/Méthode de la transformée inverse

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Méthode de la transformée inverse
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Chapitre no 3
Leçon : Probabilités de l'ingénieur : algorithmes stochastiques et simulation
Chap. préc. :Simulation de la loi uniforme
Chap. suiv. :Méthode de rejet
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Théorème utilisé[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Tout d’abord, il faut préciser le cadre d'application : en effet, dans le cas général, la fonction de répartition d'une loi est continue à droite en chaque point, mais n’est pas forcément continue en chaque point. Par exemple, toute fonction de répartition d'une loi définie sur un ensemble discret n’est pas continue.

La notation peut être simplifiée dans le cas où la fonction de répartition est continue en chaque point. En effet, dans ce cas, la fonction étant également strictement monotone, elle est bijective. Il suffit alors que noter , où représente l’application réciproque de F.

Applications[modifier | modifier le wikicode]

Lois discrètes[modifier | modifier le wikicode]

  • Loi de Bernoulli :

La fonction de répartition d'une loi de Bernoulli s'écrit

Ainsi, la variable à simuler par la méthode de la transformée inverse est .

Lois uniformes[modifier | modifier le wikicode]

  • Discrète :

De façon similaire à la loi de Bernoulli, il faut découper l'intervalle [0;1] en n sous-intervalles de longueurs égales, ce qui donne une fonction de répartition .

Ainsi, la variable suit une loi uniforme discrète sur . Si on cherche une variable dont les valeurs sont supérieures à 1, il faut simuler .

  • Continue :

En remarquant que , on peut donc simuler : pour obtenir n’importe quelle loi uniforme.

Loi exponentielle[modifier | modifier le wikicode]

La fonction de répartition d'une loi exponentielle s'écrit

Donc .

En remarquant que , on peut donc simuler : .

Loi de Cauchy[modifier | modifier le wikicode]

La fonction de répartition d'une loi de Cauchy s'écrit

Donc .

La simulation peut donc se faire par : .