Utilisateur:Xzapro4/Maquettes/WVWB Maths

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Wikibooks-logo.svg Ce contenu s'appuie sur le chapitre Nombre dérivé du manuel Dérivation des fonctions, disponible sur Wikibooks.
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WVWB Maths
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Chapitre no 1
Leçon : Fonction dérivée
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Chap. suiv. :Équation d'une tangente
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Activité d’introduction[modifier | modifier le wikicode]

Un dragster atteint la vitesse de 360 km/h en 10 s. En supposant l'accélération constante, on démontre que cela exerce sur le pilote une poussée horizontale sensiblement égale à son propre poids, et que la distance (en mètres) au point de départ du dragster est donnée par la fonction :

On se propose de calculer la vitesse du dragster après 3 secondes.

1. Quelle est la distance parcourue en 10 secondes ?

2. Représenter graphiquement d en fonction de t.

3. Donner la formule qui donne la vitesse moyenne du dragster entre les instants et .

4. Calculer cette vitesse moyenne pour h donné dans le tableau ci-dessous (en m.s-1).


5. D'après le tableau, que peut-on dire de quand h devient petit ?

6. Que représente physiquement cette quantité ?

Nombre dérivé[modifier | modifier le wikicode]

On réutilise la notion d'accroissement moyen sur un intervalle .

Secant-calculus.svg

L'accroissement moyen de ƒ sur l'intervalle vaut

Comme ce qui nous intéresse est la tangente, et non une corde, on va diminuer h. Cette manipulation a pour effet de rapprocher les deux points A et B. On s'aperçoit alors que, ce faisant, la corde (AB) se rapproche de plus en plus de la position de la tangente en A à la courbe de ƒ.

Tangent anim.gif

Ainsi, lorsque h devient extrêmement petit :

  • (AB) se confond avec la tangente en A à la courbe de ƒ
  • l'accroissement moyen de ƒ sur l'intervalle vaut le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe de ƒ


Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Cordes et tangentes.



On introduit ainsi la notion de nombre dérivé :


On dispose donc d'un outil permettant d'obtenir le taux d'accroissement d'une fonction, c'est-à-dire le coefficient directeur de la tangente à sa courbe, en tout point de l'intervalle de définition.

Graph of sliding derivative line.gif
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