Fonction dérivée/Exercices/Cordes et tangentes

La fonction f est définie par :

$f(x)=0,25x^{3}-0,75x^{2}+0,5x+1$

1. Tracer les cordes (BA), (CA), (DA), (EA) et (FA)

2. Calculer le coefficient directeur de (BA)

$a={\frac {.............}{.............}}=.....................$

3. Compléter par le même calcul qu’en 2) le tableau ci-dessous :

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}{\rm {Corde}}&({\rm {BA}})&({\rm {CA}})&({\rm {DA}})&({\rm {EA}})&({\rm {FA}})\\\hline {\rm {Coeff~dir}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{array}}$

4. Soit le point $M(2+h;f(2+h))$. Compléter le tableau suivant :

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}h&0,1&0,01&0,001&0,000\,1&0,000\,01\\\hline x_{M}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\hline y_{M}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\hline {\rm {Coeff~dir~de~({\rm {AM}})}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\end{array}}$

5. Quand h tend vers 0 :

• la corde (AM) s’approche de la tangente à la courbe au point A.
• Son coefficient directeur tend vers .................

Donc la tangente au point A a pour coefficient directeur ..................

Donc le nombre dérivé de f en 2 vaut ......

Solution

1. Tracer les cordes (BA), (CA), (DA), (EA) et (FA)

2. Calculer le coefficient directeur de (BA)

$a={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {f(1)-f(2)}{1-2}}=0$

3. Compléter le tableau

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}{\rm {Corde}}&({\rm {BA}})&({\rm {CA}})&({\rm {DA}})&({\rm {EA}})&({\rm {FA}})\\\hline {\rm {Coeff~dir}}&0&0,14&0,36&0,66&0,84\end{array}}$

4. Soit le point $M(2+h;f(2+h))$. Compléter le tableau

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}h&0,1&0,01&0,001&0,000\,1&0,000\,01\\\hline x_{M}&2,1&2,01&2,001&2,000\,1&2,000\,01\\\hline y_{M}&1,057\,75&1,005\,07&1,000\,50&1,000\,05&1,000\,01\\\hline {\rm {Coeff~dir~de~({\rm {AM}})}}&0,577\,5&0,507\,5&0,500\,75&0,500\,07&0,500\,01\\\end{array}}$

5. Quand h tend vers 0

• la corde $({\rm {AM}})$ s’approche de la tangente à la courbe au point A.
• Son coefficient directeur tend vers ${\frac {1}{2}}$

Donc la tangente au point A a pour coefficient directeur ${\frac {1}{2}}$

Donc le nombre dérivé de f en 2 vaut ${\frac {1}{2}}$