Utilisateur:RM77/Sujets

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DS 1 de Mathématiques, 28/09[modifier | modifier le wikicode]

DS 1, Exo 1[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre l'équation différentielle dépendant du paramètre réel , avec les conditions initiales .

Solution : voir Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants#Avec des sinus et cosinus.

DS 1, Exo 2[modifier | modifier le wikicode]

On considère le système linéaire

dépendant des paramètres réels .

  1. Donner une expression factorisée du déterminant de .
  2. Discuter et résoudre le système .

Solution : voir Systèmes de Cramer/Exercices/Systèmes à paramètre#Exercice 2.

DS 1, Exo 3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Représenter géométriquement l’ensemble des nombres complexes .
  2. Donner, suivant les valeurs de , le module et l'argument de .
  3. Résoudre dans l'équation .

DS 1, Exo 4[modifier | modifier le wikicode]

On trouve, dans les livres d'optique, que la luminance énergétique spectrale d'un corps noir est une fonction de la longueur d'onde, dépendant de la température absolue, donnée par :

a et b sont constantes > 0, T > 0 est la température en kelvin et la longueur d'onde.
  1. Montrer que peut être prolongée en 0 en une continue sur . La fonction prolongée est-elle dérivable en 0 ?
  2. Donner la limite de quand .
  3. Étudier la position relative des courbes des .
  4. Étudier les variations de la fonction g donnée par .
  5. Montrer que l'équation admet une unique solution dans .
  6. Exprimer la dérivée de au moyen de la fonction g.
  7. Donner les variations de sur .
  8. Donner, par son équation, la courbe des points à tangente horizontale.
  9. Tracer sur un même graphique la courbe des points à tangente horizontale et quelques une des courbes des .
  10. Calculer une valeur approchée de à près.
  11. Sachant que et , donner, pour température superficielle du Soleil, une valeur approchée de la valeur de pour laquelle atteint son maximum.