Leçons de niveau 12

Trigonométrie/Triangle rectangle

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Aller à la navigation Aller à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Triangle rectangle
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Trigonométrie
Chap. préc. :Cercle trigonométrique
Chap. suiv. :Cosinus dans un triangle rectangle
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Trigonométrie : Triangle rectangle
Trigonométrie/Triangle rectangle
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Par projeté orthogonal, sur l'axe des abscisses ou des ordonnées, d'un point situé sur le cercle trigonométrique, nous obtenons un angle droit, et donc, un triangle rectangle. Nous allons pouvoir redéfinir les formules des fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle, déjà vues au collège : , et .

Sinus et cosinus dans un triangle rectangle[modifier | modifier le wikicode]

Dans le cercle trigonométrique, le point est projeté sur les deux axes du repère afin d'obtenir le sinus et le cosinus d'un angle . On obtient alors un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le segment , de longueur égale à 1 unité (rayon ). Afin de rester en longueurs positives, le repère est restreint aux demi-axes et . L'intervalle angulaire du cercle trigonométrique est restreint à .

Construction d’un triangle rectangle quelconque.

Nous pouvons construire tous les triangles rectangles ayant une hypoténuse mesurant 1 unité de longueur. Mais par un point quelconque de la droite , on peut aussi construire tous les triangles rectangles possibles. Le triangle construit ici est nommé , ( étant le projeté orthogonal de sur ).

En appliquant le théorème de Thales aux deux triangles et , nous obtenons les relations suivantes :


Et par conséquent :


et



Remarque :

Il n'y a pas d'angle obtus dans un triangle rectangle : on ne peut pas définir le cosinus, le sinus, la tangente d’un angle obtus si on prend en compte les côtés d’un triangle rectangle.

Tangente dans un triangle rectangle[modifier | modifier le wikicode]

Si , nous reconnaissons immédiatement dans la longueur du segment . Alors pour tout triangle rectangle construit à partir d’un angle , le théorème de Thales nous donne :


Et par conséquent :