Trigonométrie/Cosinus dans un triangle rectangle

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Cosinus et calculatrice

Calcul d’un cosinus à l'aide d'une calculatrice

Connaissant un angle, on peut calculer son cosinus avec une calculatrice scientifique.

Sur une calculatrice de type « collège » habituelle, pour calculer $\cos {45^{\circ }}$, on tape la séquence de touches suivante :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4
cos	4	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches suivante :

Touche 1	Touche 2	Touche 3
4	5	cos

Il est important que votre calculatrice soit en mode « degrés », ce qui est signalé sur l'écran par un « D » ou « Deg ». Dans ce cas, le résultat du calcul est : $\cos {45}\approx 0{,}707$.

Si vous obtenez 0,525 ou 0,760, votre calculatrice n’est pas en mode « degrés » et il faut donc l'activer.

Calcul d’un angle à partir de son cosinus

Sur une calculatrice de type « collège » habituelle, pour calculer : $\cos {(?)}=0{,}5$, on tape la séquence de touches suivante :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
2nd ou shift	cos	0	$\cdot$	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, pour calculer $\cos {(?)}=0{,}5$, on tape la séquence de touches suivante :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
0	$\cdot$	5	2nd ou shift	cos

Il est important que votre calculatrice soit en mode « degrés », ce qui est signalé sur l'écran par un « D » ou « Deg ». Dans ce cas, le résultat du calcul est : $\cos ^{-1}(0{,}5)=60^{\circ }$.

Formule du cosinus

Dans un triangle ABC, rectangle en B, le cosinus de l'angle ${\hat {A}}$ vaut :

$\cos({\hat {A}})={\frac {AB}{AC}}={c{\hat {o}}t{\acute {e}}\ adjacent \over hypot{\acute {e}}nuse}$.

Exemple 1 : Calcul d’un angle à partir du côté adjacent et de l'hypoténuse

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : AB = 5 cm et AC = 7 cm, calculer ${\hat {A}}$.

Solution

On a la formule :

$\cos({\hat {A}})={\frac {AB}{AC}}={\frac {5}{7}}\approx 0{,}714$

et :

${\hat {A}}=\cos ^{-1}(0{,}714)\approx 44^{\circ }$.

 

Remarques :

1. Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour le cosinus.
2. La notation $\cos ^{-1}$ est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrices du collège. Elle prête à confusion avec l'inverse de la fonction cosinus : ${\frac {1}{\cos }}$. Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation $\arccos$ (fonction réciproque de la fonction cosinus).

Exemple 2 : Calcul du côté adjacent à partir de l'angle et de l'hypoténuse

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : ${\hat {A}}=40^{\circ }$ et $AC=7$ cm, calculer $AB$.

Solution

On a la formule :

$\cos({40})=\cos({\hat {A}})={\frac {AB}{AC}}={\frac {AB}{7}}$

donc :

$AB=7\times \cos({40})\approx 5{,}4$ cm.

 

Exemple 3 : Calcul de l'hypoténuse à partir de l'angle et du côté adjacent

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : ${\hat {A}}=40^{\circ }$ et $AB=5$ cm, calculer $AC$.

Solution

On a la formule :

$\cos({40})=\cos({\hat {A}})={\frac {AB}{AC}}={\frac {5}{AC}}$

donc :

$AC\times \cos({40})=5$ cm

donc :

$AC={\frac {5}{\cos({40})}}\approx 6{,}5$ cm.