Leçons de niveau 12

Trigonométrie/Cercle trigonométrique

Une page de Wikiversité.
Aller à : navigation, rechercher
Début de la boite de navigation du chapitre
Cercle trigonométrique
Icône de la faculté
Chapitre no1
Leçon : Trigonométrie
Retour au Sommaire
Chap. suiv. : Triangle rectangle
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Trigonométrie : Cercle trigonométrique
Trigonométrie/Cercle trigonométrique
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Présentation du cercle trigonométrique[modifier | modifier le wikicode]

Soit un repère orthonormé. Nous pouvons y construire un cercle de centre et de rayon égal à la norme de (ou ). Les vecteurs et étant unitaires, ce cercle a pour rayon 1.

Le cercle trigonométrique.



Il faut voir le cercle trigonométrique comme un axe, à l'image de l’axe des réels, mais « enroulé » pour donner sa forme circulaire. Ainsi, il nous faut le munir d’un point origine, d’une unité de longueur et d’une orientation. L'origine sera le point d'abscisse 1 et l'unité de longueur va être la même que celle du repère. Nous poserons comme orientation le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens trigonométrique.

Le périmètre du cercle est donné par :

Sur l’axe réel, il est bien difficile de placer le point mais sur le cercle trigonométrique, les valeurs et se trouvent confondues. Il en est d'ailleurs de même pour . Nous pouvons aussi placer sans grandes difficultés .



Une abscisse curviligne est, de préférence, donnée sous la forme , avec .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Sur le cercle trigonométrique, deux points et , d'abscisses respectives et , définissent un arc orienté , c'est-à-dire un segment courbe ayant une origine (ici, ) et un sens (ici de vers ).

Une abscisse curviligne de et un arc orienté .



Le radian[modifier | modifier le wikicode]

Quelques correspondances radian-degré.


Remarques :

  • Il existe une infinité d'angles orientés associés à un arc du cercle , séparés d’une distance ().
  • On montre aisément que :

L'angle peut aussi être notée :

ou

La dernière notation correspond à la mesure de mais il y a coïncidence entre l'angle et la mesure de son arc associé.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente[modifier | modifier le wikicode]

Ajoutons au repère (déjà bien garni…) deux axes réels :

  • l’axe , image de par la translation de vecteur  ;
  • l’axe , image de par la translation de vecteur .
Représentation des fonctions , , et .




Trigonométrie
bouton image vers le chapitre précédent Sommaire