Trigonométrie/Cercle trigonométrique
Sommaire
Présentation du cercle trigonométrique[modifier | modifier le wikicode]
Soit un repère orthonormé. Nous pouvons y construire un cercle de centre et de rayon égal à la norme de (et ). Les vecteurs et étant unitaires, ce cercle a pour rayon 1.
Dans un repère orthonormé, on appelle cercle trigonométrique le cercle ayant pour centre l'origine du repère et pour rayon 1.
Il faut voir le cercle trigonométrique comme un axe, à l'image de l’axe des réels, mais « enroulé » pour donner sa forme circulaire. Ainsi, il nous faut le munir d’un point origine, d’une unité de longueur et d’une orientation. L'origine sera le point d'abscisse 1 et l'unité de longueur va être la même que celle du repère. Nous poserons comme orientation le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens trigonométrique.
Le périmètre du cercle est donné par :
Sur l’axe réel, il est bien difficile de placer le point mais sur le cercle trigonométrique, les valeurs et se trouvent confondues. Il en est d'ailleurs de même pour . Nous pouvons aussi placer sans grandes difficultés .
Une abscisse curviligne d’un point de est un réel correspondant à une longueur, suivant l’axe trigonométrique, qui sépare de . Le point possède une infinité d'abscisses curvilignes, toutes de la forme , décrivant .
Si d'abscisse est confondu avec , on dit que « est congru à modulo ». On écrit : .
Une abscisse curviligne est, de préférence, donnée sous la forme , avec .
Les points et d'abscisses curvilignes respectives et sont confondus.
, ou , par exemple, sont aussi des abscisses curvilignes de (ou de ).
Sur le cercle trigonométrique, deux points et , d'abscisses respectives et , définissent un arc orienté , c'est-à-dire un segment courbe ayant une origine (ici, ) et un sens (ici de vers ).
Une mesure d’un arc orienté est définie par la différence entre une abscisse de et une abscisse de . et ayant chacun une infinité d'abscisses modulo , les mesures de sont toutes de la forme :
La mesure comprise dans l'intervalle est la mesure principale de . Elle correspond à la longueur (en valeur algébrique) du chemin le plus court reliant à .
Le radian[modifier | modifier le wikicode]
À tout arc orienté du cercle trigonométrique peut être associé un angle orienté compris entre les droites dirigées par et , et interceptant . Sa mesure en radian est définie par :
Remarques :
- Il existe une infinité d'angles orientés associés à un arc du cercle , séparés d’une distance ().
- On montre aisément que :
L'angle peut aussi être noté :
ou
La dernière notation correspond à la mesure de mais il y a coïncidence entre l'angle et la mesure de son arc associé.
Sinus, cosinus, tangente, cotangente[modifier | modifier le wikicode]
Ajoutons au repère (déjà bien garni…) deux axes réels :
- l’axe , image de par la translation de vecteur ;
- l’axe , image de par la translation de vecteur .
Soient un point du cercle trigonométrique et l'angle associé à l'arc .
- Le sinus de est l'abscisse, sur l’axe , du point , projeté orthogonal de sur ce même axe.
- Le cosinus de est l'abscisse, sur l’axe , du point , projeté orthogonal de sur ce même axe.
- La tangente de est l'abscisse, sur l’axe , du point , point d'intersection entre et cet axe.
- La cotangente de est l'abscisse, sur l’axe , du point , point d'intersection entre et cet axe.
On les note respectivement , , et (ou , , et ). Ce sont des fonctions circulaires d'angles orientés. Les plus importantes sont les fonctions , et .