Trigonométrie/Cercle trigonométrique

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Présentation du cercle trigonométrique

Soit $(O;{\vec {i}},{\vec {j}})$ un repère orthonormé. Nous pouvons y construire un cercle ${\mathcal {C}}$ de centre $O$ et de rayon égal à la norme de ${\vec {i}}$ (et ${\vec {j}}$). Les vecteurs ${\vec {i}}$ et ${\vec {j}}$ étant unitaires, ce cercle a pour rayon 1.

Le cercle trigonométrique.

Définition

Dans un repère orthonormé, on appelle cercle trigonométrique le cercle ayant pour centre l'origine du repère et pour rayon 1.

Il faut voir le cercle trigonométrique comme un axe, à l'image de l’axe des réels, mais « enroulé » pour donner sa forme circulaire. Ainsi, il nous faut le munir d’un point origine, d’une unité de longueur et d’une orientation. L'origine sera le point $I$ d'abscisse 1 et l'unité de longueur va être la même que celle du repère. Nous poserons comme orientation le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens trigonométrique.

Le périmètre du cercle ${\mathcal {C}}$ est donné par :

${\begin{aligned}P&=2\pi \times 1\\&=2\pi .\end{aligned}}$

Sur l’axe réel, il est bien difficile de placer le point $x=2\pi$ mais sur le cercle trigonométrique, les valeurs $0$ et $2\pi$ se trouvent confondues. Il en est d'ailleurs de même pour $2\pi ,4\pi ,-2\pi ,-4\pi ,\ldots$. Nous pouvons aussi placer sans grandes difficultés $\pi ,{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{3}},{\frac {\pi }{4}}\dots$.

Définition

Une abscisse curviligne d’un point $M_{0}$ de ${\mathcal {C}}$ est un réel $x_{0}$ correspondant à une longueur, suivant l’axe trigonométrique, qui sépare $I$ de $M_{0}$. Le point $M_{0}$ possède une infinité d'abscisses curvilignes, toutes de la forme $x_{0}+2k\pi$, $k$ décrivant $\mathbb {Z}$.

Si $M_{1}$ d'abscisse $x_{1}$ est confondu avec $M_{0}$, on dit que « $x_{0}$ est congru à $x_{1}$ modulo $2\pi$ ». On écrit : $x_{0}\equiv x_{1}{\pmod {2\pi }}$.

Une abscisse curviligne est, de préférence, donnée sous la forme $\lambda \pi$, avec $\lambda \in \mathbb {R}$.

Début de l'exemple

Exemple

Les points $A$ et $B$ d'abscisses curvilignes respectives ${\frac {\pi }{5}}$ et ${\frac {11\pi }{5}}$ sont confondus.

$-{\frac {9\pi }{5}}$, ${\frac {21\pi }{5}}$ ou $-{\frac {19\pi }{5}}$, par exemple, sont aussi des abscisses curvilignes de $A$ (ou de $B$).

Fin de l'exemple

Sur le cercle trigonométrique, deux points $A$ et $B$, d'abscisses respectives $x_{A}$ et $x_{B}$, définissent un arc orienté ${\overset {\curvearrowright }{AB}}$, c'est-à-dire un segment courbe ayant une origine (ici, $A$) et un sens (ici de $A$ vers $B$).

Une abscisse curviligne de $M_{0}$ et un arc orienté $AB$.

Définitions

Une mesure d’un arc orienté ${\overset {\curvearrowright }{AB}}$ est définie par la différence entre une abscisse $x_{A}$ de $A$ et une abscisse $x_{B}$ de $B$. $A$ et $B$ ayant chacun une infinité d'abscisses modulo $2\pi$, les mesures de ${\overset {\curvearrowright }{AB}}$ sont toutes de la forme :

$\operatorname {mes} ({\overset {\displaystyle \curvearrowright }{AB}})=x_{B}-x_{A}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z}$

que nous pouvons également écrire :

$\operatorname {mes} ({\overset {\displaystyle \curvearrowright }{AB}})\equiv x_{B}-x_{A}{\pmod {2\pi }}.$

La mesure comprise dans l'intervalle $]-\pi ,\pi ]$ est la mesure principale de ${\overset {\curvearrowright }{AB}}$. Elle correspond à la longueur (en valeur algébrique) du chemin le plus court reliant $A$ à $B$ (s'il existe deux trajets possibles, on choisit celui de mesure positive).

Le radian

Quelques correspondances radian-degré.

Définition

À tout arc orienté ${\overset {\curvearrowright }{AB}}$ du cercle trigonométrique peut être associé un angle orienté $\alpha$ compris entre les droites dirigées par ${\overrightarrow {OA}}$ et ${\overrightarrow {OB}}$, et interceptant ${\overset {\curvearrowright }{AB}}$. Sa mesure en radian est définie par :

$\alpha =\operatorname {mes} ({\overset {\curvearrowright }{AB}}).$

Remarques :

• Il existe une infinité d'angles orientés associés à un arc du cercle ${\mathcal {C}}$, séparés d’une distance $2k\pi$ ($k\in \mathbb {Z}$).
• On montre aisément que :

$1{\text{ rad}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}.$

L'angle $\alpha$ peut aussi être noté :

$({\widehat {{\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}}}})$ ou $({\overline {{\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}}}}).$

La dernière notation correspond à la mesure de ${\overset {\curvearrowright }{AB}}$ mais il y a coïncidence entre l'angle et la mesure de son arc associé.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente

Ajoutons au repère (déjà bien garni…) deux axes réels :

• l’axe $\Delta _{1}$, image de $x'x$ par la translation de vecteur ${\vec {j}}$ ;
• l’axe $\Delta _{2}$, image de $y'y$ par la translation de vecteur ${\vec {i}}$.

Représentation des fonctions $\sin$, $\cos$, $\tan$ et $\cot$.

Définitions

Soient $M$ un point du cercle trigonométrique et $\alpha$ l'angle associé à l'arc ${\overset {\curvearrowright }{IM}}$.

• Le sinus de $\alpha$ est l'abscisse, sur l’axe $y'y$, du point $S_{1}$, projeté orthogonal de $M$ sur ce même axe.
• Le cosinus de $\alpha$ est l'abscisse, sur l’axe $x'x$, du point $S_{2}$, projeté orthogonal de $M$ sur ce même axe.
• La tangente de $\alpha$ est l'abscisse, sur l’axe $\Delta _{2}$, du point $T_{1}$, point d'intersection entre $(OM)$ et cet axe.
• La cotangente de $\alpha$ est l'abscisse, sur l’axe $\Delta _{1}$, du point $T_{2}$, point d'intersection entre $(OM)$ et cet axe.

On les note respectivement $\sin(\alpha )$, $\cos(\alpha )$, $\tan(\alpha )$ et $\cot(\alpha )$ (ou $\sin {\alpha }$, $\cos {\alpha }$, $\tan {\alpha }$ et $\cot {\alpha }$). Ce sont des fonctions circulaires d'angles orientés. Les plus importantes sont les fonctions $\sin$, $\cos$ et $\tan$.